Основы комбинаторики. 
Комбинаторика – это интересно!

По мере развития комбинаторики выяснилось, что, несмотря на внешнее различие изучаемых вопросов, многие из них имеют одно и то же математическое содержание и сводятся к задачам о конечных множествах и их подмножествах. Постепенно выявилось несколько типов задач, к которым сводится большинство комбинаторных проблем. Важную область комбинаторики составляет теория перечислений. С ее помощью можно подсчитать число решений различных комбинаторных задач. В основе этой теории лежат «правило суммы» и «правило произведения». Они гласят: «если множество А состоит из m элементов, а множество В — из n элементов, причем эти множества не имеют общих элементов, то их объединение АUВ, т. е. совокупность всех элементов; множество А х В, состоящие из всевозможных пар (а, b), где элемент а принадлежит множеству А, а элемент b принадлежит множеству В, содержит mn элементов».

Например:

Задача 1. Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр: 0, 1, 2, 4, 5, 9

Решение: Так как первая цифра искомого числа любая из перечисленных, кроме 0, а вторая может быть только 0,2,4, то получается, что вариантов всего 5•3 = 15

Ответ: 15 чисел.

Задача 2. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решение: Так как набор составляется из 2 компонентов, то каждый из 3 напитков можно варьировать 4 раза и тогда существует 4•3 = 12 вариантов.

Ответ: 12 вариантов.

Мы видим, что, хотя задачи 1 и 2 очень разные, их решения совершенно одинаковые. Основаны они на общем правиле умножения.

Задача 3. Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?

Решение: X=17, Y=13.

По правилу суммы X U Y=17+13=30 тем.

Задача 4. Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет из спортлото или автомотолотереи?

Решение: Так как денежно-вещевая лотерея в выборе не участвует, то всего 6+10=16 вариантов.

Если конечные множества не пересекаются, то число элементов.

X U Y {или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества Y.