Оптимум фирмы в моноресурсной модели

Для определения оптимума фирмы, использующей один фактор производства, необходимо знать те ограничения, с которыми сталкивается фирма. Обычно она не в состоянии повлиять на рыночную цену приобретаемого ресурса (Р_х) и продаваемого блага (P_q).

Введем эти параметры в нашу модель и рассмотрим графический способ доказательства оптимума фирмы (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Оптимум фирмы, использующей один ресурс

Предположим, что в исходный момент времени фирма использовала OL (МАГ) единиц ресурса и получила ОМ (LN) единиц продукта. При существующих ценах на ресурс и продукт для компенсации по стоимости MN использованного фактора потребуется FM продукта. Через точки F и N мы можем провести прямую, которую называют линией цен. Ее наклон определяется исключительно соотношением цен на ресурс и продукт, так что имеет место равенство.

Если продукт станет дороже, то для компенсации по стоимости прежнего количества использованного фактора потребуется уже меньшее количество продукта. Отрезок FM станет короче, а линия цен — более пологой. Докажем, что данное положение фирмы не оптимально. Отрезок ОМ в стоимостном выражении представляет собой доход, полученный фирмой от продажи блага. Из этой суммы отрезок FM представляет собой, как мы отмечали, компенсацию издержек, значит, отрезок OF является эквивалентом прибыли, полученной фирмой. Но максимальна ли прибыль? Очевидно, что нет.

Если фирма увеличит объем использования ресурса, то точка N двинется вверх по производственной кривой, увлекая за собой линию цен. Линия цен будет смещаться вверх параллельно самой себе и отсекать все больший отрезок OF, соответствующий прибыли, от оси ординат. Это смещение будет продолжаться до тех пор, пока линия цен не займет наивысшее положение, касаясь производственной кривой в точке N_v Дальнейшее наращивание объема использованного фактора теперь приведет лишь к уменьшению прибыли фирмы, так как линия цен теперь двинется вниз. Следовательно, оптимальной будет ситуация, когда линия цен касается производственной кривой. Фирма использует OL_a ресурса, получит ОМ_} продукта и прибыль в размере OF_v На основе полученной информации сформулируем правила оптимума фирмы.

В состоянии оптимума линия цен касается производственной кривой. Но тангенс касательной характеризует предельный продукт фирмы. Следовательно, верно соотношение.

Это означает, что в состоянии оптимума цена единицы ресурса равна стоимости единицы производимого предельного продукта. Действительно, при производстве первых экземпляров блага фирма получает от единицы ресурса продукт, который более чем компенсирует по стоимости цену ресурса. Именно поэтому фирма и получает прибыль. Но чем дальше, тем меньше разрыв между ценой единицы ресурса х и стоимостью полученного с его помощью продукта, так как продуктовая отдача убывает. Наконец, когда она становится в точности равна цене ресурса, фирме перестает быть выгодным увеличивать объем использования фактора. Верно и другое утверждение: фирма достигает оптимума в тот момент, когда цена единицы продукта становится равна по стоимости предельному фактору.

Еще одно правило: в состоянии оптимума средний продукт фирмы убывает — это вытекает из выпуклого состояния кривой. Кроме того, убывает и предельный продукт фирмы.

Решение. Найдем сначала функцию предельного продукта, для чего найдем производную от общего продукта. Таким образом,.

Приравняв предельный продукт нулю и решив квадратное уравнение, находим, что общий продукт максимален при х = 12. Для того чтобы определить предельный продукт восьмой единицы фактора, достаточно подставить в уравнение предельного продукта 8 вместо х. Получаем, что МР₈ = 8.