Уравнение движения центра масс

Центром инерции, или центром масс системы частиц называют точку С_у радиус-вектор г_с которой определяют формулой.

где.

— масса системы. Согласно определению (5.46) декартовы координаты центра инерции будут.

Если число частиц в системе и ее масса со временем не изменяются, то продифференцировав равенство (5.8) по времени, найдем, что скорость центра инерции.

Отсюда получим:

т.е. импульс системы материальных точек равен произведению ее массы т на вектор скорости центра инерции. Используя эту формулу, уравнение (5.41) можно преобразовать к виду.

Из этого уравнения видно, что центр инерции системы движется как материальная точка, масса которой равна массе т системы и на которую действуют все внешние силы, приложенные к различным частицам системы.

В частности, если сумма всех внешних сил равна нулю, то центр инерции будет двигаться прямолинейно и равномерно или оставаться неподвижным.

Уравнение для момента импульса системы частиц

По определению момент импульса одной из частиц системы равен

где 1 = 1, 2, N. Сумма этих векторов.

называется моментом импульса системы материальных точек относительно точки О, которая выбрана как начало инерциальной системы отсчета.

В соответствии с уравнением (4.9) производная по времени от момента импульса г-й частицы равна сумме моментов всех сил, которые действуют на эту частицу:

где.

— моменты внутренних и внешних сил соответственно. Сложив равенства (5.50), т. е. просуммировав их по всем значениям индекса i, получим с учетом определения (5.49) выражение для производной по времени от момента импульса системы:

Моменты внутренних сил в этой сумме образуют пары.

В силу третьего закона Ньютона.

Поэтому Сила fik взаимодействия двух материальных точек направлена вдоль прямой, соединяющей эти точки, т. е. векторы /,* и г, — коллинеарны (рис. 5.4):

Поэтому их векторное произведение равно нулю:

Рис. 5.J. Внутренние силы dt * *.

".

Из этого равенства следует, что.

и уравнение (5.51) для момента импульса системы будет иметь вид.

т.е. производная по времени от момента импульса системы материальных точек равна сумме моментов всех внешних сил. действующих на эту систему.

Следствием уравнения (5.52) является закон сохранения момента импульса системы. Если сумма моментов внешних сил, действующих на систему материальных точек, равна нулю в течение некоторого времени, то момент импульса системы в это время изменяться не будет:

В проекциях на ось z уравнение (5.52) имеет вид.

Из этого уравнения следует, что в том случае, когда сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси тождественно равна нулю,

проекция вектора момента импульса на эту ось со временем не изменяется:

Из этих равенств следует, что.

где t и *2 ~ произвольные моменты времени.