Использование матриц. 
Использование матриц

Задача 1. Даны матрицы:

Определить, имеет ли матрица обратную.

Решение:

Найдем матрицу:

матрица ранг уравнение вектор Вычислим определитель матрицы :

Приведем определитель к треугольному виду.

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Т.к. то матрица не имеет обратную.

Ответ: матрица не имеет обратную.

Задача 2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

Решение:

Найдем определитель матрицы коэффициентов системы уравнений:

Д = =,.

Найдем первый определитель матрицы коэффициентов. Для этого вместо 1-го столбца подставим столбец свободных членов:

Д₁ = =.

Найдем второй определитель матрицы коэффициентов. Для этого вместо 2-го столбца подставим столбец свободных членов:

Д₂ = =.

Найдем третий определитель матрицы коэффициентов. Для этого вместо 3-го столбца подставим столбец свободных членов:

Д₃ = = =.

Найдем решение системы уравнений:

x₁ =

x₂ =

x₃ =

Проверка:

верно.

Ответ:

Задача 3. Решить систему линейных уравнений:

Найти какое-нибудь базисное решение.

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем ее к редуцированному виду:

Так как количество линейно независимых строк матрицы равно 2, то ранг матрицы равен 2, следовательно, размерность пространства решений равна:

И фундаментальная система решений состоит из двух линейно независимых решений.

Неизвестные, соответствующие базисным столбцам, являются базисными, неизвестные — свободными.

Используя метод Гаусса, получим:

Следовательно, общее решение:

Найдем какое-нибудь базисное решение, полагая.

Ответ: общее решение:

базисное решение:

Задача 4. Найти длину вектора, если.

Решение:

Таким образом, длина вектора:

Ответ:.

Задача 5. Даны четыре вектора в некотором базисе. Показать, что векторы, образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:

Составим матрицу, столбцами которой являются векторы, и приведем ее к ступенчатому виду:

Следовательно, ранг матрицы, составленной из векторов, равен трём (количество ненулевых строк); векторы , — линейно независимы и образуют базис в пространстве .

Тогда вектор должен разлагаться по этому базису:

Значит, координаты полученного разложения удовлетворяют линейной неоднородной системе алгебраических уравнений:

Решим систему методом Гаусса:

Обратный ход:

Следовательно,.

Итак, вектор в базисе имеет координаты: ;;).

Откуда заключаем: .

Ответ: координаты вектора в базисе векторов :

;;).

Задача 6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей.

Решение:

Найдем собственные значения матрицы.

Значит, — характеристическое уравнение и — его корни.

Найдем линейно независимые собственные векторы, соответствующие собственному числу :

Отсюда следует, что координаты искомых собственных векторов связаны равенством:

Значит, Откуда:

Найдем линейно независимые собственные векторы, соответствующие собственному числу :

Отсюда следует, что координаты искомых собственных векторов связаны равенством:

Значит, Откуда:

Ответ: собственные числа:

собственные вектора:

Задача 7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму.

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму.

Решение:

а) Методом Лагранжа приведем квадратичную форму.

к каноническому виду.

Переход к базису, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, осуществляется преобразованием:

Получим:

Ответ: квадратичная форма имеет следующий канонический вид:

б) По критерию Сильвестра исследуем на знакоопределенность квадратичную форму.

Запишем матрицу квадратичной формы.

Вычислим ее главные диагональные миноры:

Следовательно, по критерию Сильвестра заключаем: квадратичная форма является знакопеременной.

Ответ: квадратичная форма является знакопеременной.