Субгармонические колебания. 
Многообразие типов движений в нелинейных цепях

Субгармоническими называют колебания, период которых Т_ск больше периода Т = 2 т вынуждающей силы e (t). Число к = Т_СК/Т характеризует порядок субгармонических колебаний (СК). В цепи на рис. 15.54, а с нелинейной индуктивностью и нелинейным конденсатором, имеющими идеально прямоугольные характеристики (рис. 15.54, б, в), и резистором R при воздействии ЭДС e (t) =+Е в виде меандра (рис. 15.54, г) (а в дальнейшем также еще и постоянной ЭДС Е₀) возникают СК нечетного порядка.

Обозначим а = 2j/_m/(xЕ) и Ъ = 2Rq_m/(x?). Сначала рассмотрим работу схемы при замкнутом К_г и разомкнутом К₂, когда действует только e (t) = ±Е. При Ъ > 1 и а < 1 возникает тип движений, показанный на рис. 15.54, г (для этого рисунка а = 0,25 и Ъ = 1,5), когда Т = 2 т и и_с = 0 в течение всего периода Т.

Рис. 15.54.

При Ь <1иа + Ь <1 тип движений (назовем его тип Я) иллюстрирует рис. 15.54, д (для этого рисунка а = 0,25 и Ъ = 0,5), период Т = 2 т. Для существования СК в цепи (рис. 15.54, а) необходимо, чтобы а > 1, Ъ < 1. Порядок к равен сумме смежных чисел натурального ряда, в интервале между которыми находится сумма а + Ъ.

Так, для существования колебаний третьего порядка необходимо, чтобы 1 < а + b < 2. Физически СК возникают потому, что за время т потокосцепление i нелинейной индуктивности не успевает измениться на величину 2i_m. Условие b < 1 означает, что перезарядка нелинейного конденсатора на 2q_m должна происходить за время, меньшее т.

Графики ЭДС e (t), заряда q, напряжения на конденсаторе и_с, тока i и потокосцепления |/ при СК третьего порядка (к = 3, а = 1,25, Ъ = 0,5) изображены на рис. 15.54, е. При построении кривых учтено, что увеличение заряда может иметь место только после того, как |/ достигло значения j/_m, а уменьшение заряда — только после того, как р достигло значения Дадим пояснения к кривым на рис. 15.54, е. Период СК третьего порядка составляет шесть интервалов длительностью т. К началу первого интервала е (?) = Е, заряд q = -q_m и потокосцепление ц/ = —|/_т. За первый интервал времени длительностью т ц/ изменяется отц/_т до 0,6j/_m. Так как ц/ не достигло значения |/_т, то перемагничивание сердечника осталось незаконченным. Во второй интервал времени e (t) = -Е оказывается приложенной к нелинейному конденсатору и_с = -Е. В третий интервал времени под действием ЭДС еСО = Е происходят три качественно различных процесса. Сначала заканчивается перемагничивание сердечника нелинейной индуктивности, когда потокосцепление |/ изменяется от 0,6)/_т до j/_m (на это затрачивается время 0,25т). После этого за 0,5 т заряд нелинейного конденсатора изменяется от -q_m до q_m (при этом по цепи течет ток E/R); в оставшуюся часть времени третьего интервала (1 — 0,25 — 0,5)т = 0,25 т на нелинейном конденсаторе появляется напряжение и_с = Е. В последующие три интервала времени каждый длительностью т имеют место процессы качественно такие же, что и в трех рассмотренных, но движения происходят в обратном направлении.

Диаграммы возможных типов движений в схеме (на рис. 15.54, а), когда в ней дейсвует ЭДС e (t) = ±Е, изображены на рис. 15.54, ж. Заштрихованная область и_с = 0 соответствует типу движения по рис. 15.54, г, область Н — движению по рис. 15.54, б, области 3, 5, 7, 9,11 — это области субгармонических колебаний соответственно 3—11-го порядка. Если на рис. 15.53, ж провести из начала координат прямую под углом, а к оси абсцисс (tga = Rq/f_m; на рисунке tga = 0,2) так, чтобы она прошла через все области, то при плавном увеличении Е изображающая точка будет двигаться в направлении стрелки, последовательно проходя области 11, 9, 7, 5, 3, и_с = 0, Н, т. е. при этом будут получены семь различных типов движений и все они будут устойчивы. Переход из предыдущей области в последующую обусловлен невозможностью при измененной Е осуществить смену состояний, характерную для предыдущей области.