Векторный потенциал магнитного поля

Вектор магнитной индукции можно представить в виде вихря некоторого вспомогательного вектора А:

причем вектор А при заданном распределении в пространстве электрических токов является функцией координат.

Вектор А называется векторным потенциалом магнитного поля. Определим его так, чтобы уравнения магнитного поля.

выполнялись во всем пространстве — и там, где отсутствуют токи, и там, где они есть, т. е. J ^ 0.

Подчиним вектор, А условию div, А = 0, т. е. будем считать, что поле вектора А не имеет источников.

Установим связь между магнитным потоком Ф сквозь некоторую поверхность s и векторным потенциалом А магнитного поля. Имеем Ф = JBds = Jrot Ads.

S S

Согласно теореме Стокса Jrot Ads = <�§ Adl. Следовательно,.

S.

Таким образом, магнитный поток сквозь поверхность s равен линейному интегралу векторного потенциала по замкнутому контуру, ограничивающему эту поверхность.

Для установления связи между векторным магнитным потенциалом и вызывающим его током получим из первого уравнения Максвелла.

Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулой векторного анализа.

Наложим на, А дополнительное условие, называемое «кулоновской калибровкой»: div, А = 0. Тогда уравнение (3.3) принимает вид

Это векторное уравнение соответствует трем скалярным:

Сравним результат с уравнением Пуассона для электростатического потенциала. Запишем его еще раз: У²ф = -—. Решение этого уравнения.

1 р ^е

имеет вид ф=-J—dV.

ЛквуГ

Отсюда запишем проекции вектора А:

Зная проекции, определим вектор

Для нахождения магнитного поля линейного тока рассмотрим рис. 3.4. Пусть известна плотность линейного тока J. Тогда.

Рис. ЗА. Определение вектора магнитного потенциала для линейного тока Поскольку ток I = J JdS,.

s

Определим подынтегральное выражение. Пусть a=dl, <�р = —, тогда г.

rot, а ? <�р = [Vха] • ф+[Vcpx а] = ср rof, а + [gradcpх а]. Соответственно.

Поскольку dl не зависит от положения точки М, в которой опреде;

_ 2 у

лим ротор, то rotdl =0, а grad- = —.

г г²

Подставив полученные результаты в уравнение (3.6), получаем.

Это интегральная формулировка так называемого закона Био и Савара, непосредственно связывающего напряженность магнитного поля с линейным распределением тока.

В дифференциальной форме этот закон имеет вид