Теорема Кастильяно. 
Вычисление моментов инерции плоских фигур. 
Косой изгиб конструкций

Установим теперь метод определения перемещений, основанный на вычислении потенциальной энергии деформации. Поставим себе задачу нахождений перемещений точек упругой системы по направлению действия приложенных в этой системе внешних сил.

Будем решать эту задачу в несколько приёмов; сначала рассмотрим более простой случай (Рис. 7.12), когда на балку в сечениях 1,2,3 … действует только сосредоточенные силы, обозначим и т. д. Найдем один из этих прогибов, например прогиб сечения, в котором приложена сила .

Переведем балку, не нарушая, из положения I в смежное положение II, показанное на Рис. 7.12 пунктиром. Это можно сделать различными приёмами: добавить новую нагрузку, увеличить уже приложенные и т. д.

Мы представим себе, что для перехода к смежному деформированному состоянию II к силе сделана бесконечно малая добавка d (Рис. 7.12); чтобы при этом переходе не нарушать равновесия, будем считать, что эта добавка прикладывается статически, т. е. возрастает от нуля до окончательного значения медленно и постепенно.

При переходе от состояния I балки к состоянию II все нагрузки Р опустятся, значит их потенциальная энергия уменьшится .Так как равновесие не нарушалось, то уменьшение энергии нагрузок d целиком преобразовалось в увеличение потенциальной энергии деформации балки d U.

Величина d измеряется работой внешних сил при переходе балки из положения I в положение II:

d U= d.

Изменение d U потенциальной энергии деформации, являющейся функцией сил, произошло за счет очень малого приращения одной из этих независимых переменных ;поэтому дифференциал такой сложной функции равен:

Что касается величины d, то эта работа в свою очередь является разностью нагрузок Р для положений I, II.

Работа при одновременном и постепенном возрастании равна:

Полученным результат можно обобщить. Пусть не балку, помимо сосредоточенных сил P, действуют в разных сечениях еще пары сил М (Рис. 7.13). Мы можем повторить предыдущие рассуждения, считая, что балка переводится из положения I в положение II путем добавки к паре. Весь ход рассуждений остается без изменений, надо будет лишь при вычислении работы моментов умножать их не на прогибы, а на углы поворота, тех сечений, где эти пары приложены. Тогда dU будет равно d станет, и тогда :

Так как у — это перемещение, соответствующее силе, а — перемещение, соответствующее силе, то полученные нами результаты можно формулировать так: производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующему этой силе. Это и есть так называемая теорема Кастильяно.

Заметим, что присутствие на балке сплошной нагрузки не меняет предыдущих выводов, так как всякую сплошную нагрузку можно рассматривать как состоящую из большого числа сосредоточенных сил.

Предыдущий вывод был сделан для балки, но совершенно ясно" что его можно повторить для любой конструкции, деформации которой следуют закону Гука.

Для случая изгиба нами была получена формула, связывающая величину потенциальной энергии U с изгибающими моментами.

Изгибающим момент является линейной функцией нагрузок, P1P2… M1, M2, q, приложенных к балке:

Вычислим частную производную от U по одной из внешних сил, например P1 получаем:

Здесь мы имеем дело с так называемым дифференцированием определенного интеграла по параметру, так как М (х) — функция и; интегрирование производится по х, а дифференцированиепараметру Р1, Как известно, если пределы интеграла постоянны, то следует просто дифференцировать подынтегральную функцию.

Таким образом, прогиб в точке приложения сосредоточенной силы P равен:

а угол поворота сечения с парой.

Напомним, что знак предела l условно показывает, что должен быть распространен на всю длину балки.