Определение коэффициентов аппроксимирующей функции

Рассмотрим кратко основные методы определения коэффициентов аппроксимирующей функции. При невысоких требованиях к точности аппроксимации для этой цели используют метод выбранных точек, в соответствии с которым коэффициенты аппроксимирующей функции находят, исходя из совпадения значений этой функции со значениями аппроксимируемой функции в ряде заранее выбранных точек, называемых узлами интерполяции (от лат. interpolare — подновлять). Если для аппроксимации ВАХ, задаваемой множеством точек {х), s,}, выбрана функция.

имеющая п + 1 неизвестных постоянных коэффициентов <7₀, я₍,…, а", то для определения этих коэффициентов выбирают п + 1 наиболее характерных точек ВАХ, лежащих в пределах рабочей области. Подставляя значения х_} и s₎ в каждой из выбранных точек в выражение (5.12), получают систему из п + 1 уравнений Sj= s (xj, а₀, а_Л,…, а"), решая которую находят неизвестные коэффициенты. Очевидно, что такой выбор коэффициентов действительно обеспечивает совпадение значений аппроксимируемой и аппроксимирующей функций в узлах интерполяции, однако в промежутках между ними погрешность аппроксимации может быть весьма существенной (информация о ходе аппроксимируемой функции в них не учитывается), что является недостатком этого метода.

В отличие от метода выбранных точек метод наименьших квадратов обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений ?, значений аппроксимирующей функции s = s (x, а& а,…, а_п) от значений исходной функции s, — = Sj (xj) в произвольном числе точек т, не связанном с числом неизвестных коэффициентов п + 1:

Приравнивая к нулю первые производные о по каждому из коэффициентов, получаем систему из п + 1 уравнений для определения п + 1 неизвестных числовых значений коэффициентов:

Метод наименьших квадратов требует громоздких вычислений и применяется обычно только в тех случаях, когда необходима высокая точность аппроксимации.

Если гипотеза о характере аппроксимирующей функции проверялась методом выравнивания, то неизвестные значения коэффициентов аппроксимирующей функции могут быть определены по известным коэффициентам и К линейного уравнения (5.3), связывающего между собой вспомогательные переменные X и S. Составляя уравнение прямой линии, вдоль которой располагаются точки {Xj> Sj), и сравнивая его с уравнением, описывающим зависимость между вспомогательными переменными X и У, которое соответствует проверяемой гипотезе о виде функции s (х), например, с уравнениями (5.5), (5.7) или (5.10), находим искомые коэффициенты.

Пример 5.6. Определим коэффициенты экспоненциального полинома i = ае^Ьи + с, аппроксимирующего ВАХ полупроводникового диода (см. рис. 5.19, а) в диапазоне напряжений от О до 1 В.

Возможность аппроксимации ВАХ, приведенной на рис. 5.19, экспоненциальным полиномом указанного типа была показана в примере 5.5. Там же было найдено числовое значение коэффициента с. Составим уравнение прямой (см. рис. 5.20), на которой в рассматриваемом диапазоне изменения аргумента располагаются точки {Xj, Sj}:

где {Ху и {Х₂,5*2} ^— координаты двух любых точек, через которые проходит данная прямая. Выбирая {Х_{ = 0,2, S = -0,95} и {Х₂ = 1 , S₂- -0,42}, получаем уравнение прямой в следующем виде:

Сравнивая это выражение с выражением (5.10), находим соотношения для определения неизвестных значений коэффициентов а и Ь:

откуда а = 0,082, b = 1,52.

Таким образом, в диапазоне от 0 до 1 В данная ВАХ может быть аппроксимирована выражением.

На практике для аппроксимации характеристик нелинейных элементов в основном используют степенные полиномы.

и кусочно-линейные функции. Аппроксимация с помощью степенного полинома универсальна и позволяет повышать точность расчета путем увеличения степени полинома. Любые аппроксимирующие функции могут быть разложены в степенные ряды и приведены к виду (5.14). Поскольку сложность определения коэффициентов аппроксимирующей функции возрастает с увеличением числа членов полинома, для аппроксимации ВАХ обычно используют полиномы низких степеней.

Аппроксимация с помощью кусочно-линейных функций заключается в разбиении рабочей области аппроксимируемой функции на несколько участков (интервалов) и замене функции на каждом из них отрезком прямой. С увеличением числа интервалов точность аппроксимации возрастает, однако для упрощения анализа цепи желательно использовать кусочно-линейные функции с минимальным числом интервалов. Примеры кусочно-линейной аппроксимации ВАХ представлены на рис. 5.21.

Рис. 5.21. Кусочно-линейная аппроксимация выходных (а) и проходных (б) характеристик полевого транзистора.