Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. 
Период и амплитуда вынужденных колебаний

Рис. 6.5.

По аналогии с формулой (5.21)

А г

где С0₀— = р = — ;/о =.

т 2 т т

В соответствии с теорией дифференциальных уравнений установившееся решение неоднородного (с ненулевой правой частью) дифференциального уравнения вынужденных колебаний (6.10) имеет вид гармонической функции, изменяющейся с частотой внешнего воздействия.

Здесь сдвиг фазы <�р и амплитуда А равны соответственно.

Резонанс. Семейство резонансных кривых

Рассмотрим подробнее зависимость (6.13) амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешнего воздействия. Очень часто амплитуда вынужденных колебаний имеет отчетливый максимум, называемый резонансом. Таким образом, при некоторой частоте внешнего воздействия колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этого воздействия. Найдем частоту (о_р, соответствующую резонансу. Для этого исследуем функцию (6.13) на максимум. Исследование упрощается, если учесть, что максимум дроби с постоянным числителем соответствует минимуму знаменателя. А минимум корня знаменателя соответствует минимуму подкоренного выражения. В экстремуме производная подкоренного выражения (®о — «в,)² + 4р²«в» Равна нулю:

откуда несложно найти резонансную частоту внешнего воздействия

(сравните с частотой затухающих колебаний ш = -у/(о₍²₎ -р‘).

С ростом коэффициента затухания резонансная частота падает, при 2р- = (Од доходит до нуля, а при 2р² > ш₀² резонанс пропадает.

Резонансная амплитуда находится подстановкой резонансной частоты в амплитуду:

В случае малого затухания (р <$С со₀).

В случае бесконечно малого затухания резонансная амплитуда стремится к бесконечности.

Если (о_вн = 0 и внешнее воздействие не зависит от времени, то для р = О из формулы (6.13) отклонение системы от равновесия равно.

Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешнего воздействия при различных коэффициентах поглощения р называются резонансными кривыми (рис. 6.6). При этом р,.

2 (Oq и резонанс отсутствует.

Рис. 6.6.

В технике явление резонанса может быть как полезным, так и вредным. Например, случайные резонансные механические вибрации могут привести к разрушению строительных конструкций. Так, разрушение висячего Такомского моста длиной 1600 м (штат Вашингтон, США) в 1940 г. связывают с резонансными явлениями. При помощи явления резонанса можно выделить и усилить даже слабые периодические колебания. Резонаторы и резонансные системы широко используются во многих областях науки, техники и видах деятельности человека.