Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду

Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (рис. 2.26, а), называют звездой, а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника (рис. 2.26, б), — треугольником. В узлах 1, 2, 3 (потенциалы их ф_1? ф₂ и ф₃) треугольник и звезда соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках).

Рис. 2.26.

Обозначим токи, подтекающие к узлам 1,2,3, через 1_Ь 1₂ и /₃.

Часто при расчете электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически чаще бывает необходимо преобразовать треугольник в звезду. Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды подтекающие к этим точкам токи одинаковы, то вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены.

Выведем формулы преобразований. С этой целью выразим токи 1₂ и /₃ в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.

Для звезды.

но.

Подставим (2.38) в (2.37) и найдем ср₀: откуда.

Введем ф₀ в выражение (2.38) для тока 1_г:

Для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 2.26, б

Так как ток 1_г в схеме рис. 2.26, а равен току 1_г в схеме рис. 2.26, б при любых значениях потенциалов ф_1? ф₂, ф₃, то коэффициент при ф₂ в правой части (2.41) равен коэффициенту при ф₂ в правой части (2.40), а коэффициент при ф₃ в правой части (2.41) — коэффициенту при ф₃ в правой части (2.40).

Следовательно,.

Аналогично.

Формулы (2.42)—(2.44) дают возможность определить проводимости сторон треугольника через проводимости лучей звезды. Они имеют легко запоминающуюся структуру: индексы у проводимостей в числителе правой части соответствуют индексам у проводимости в левой части; в знаменателе — сумма проводимостей лучей звезды.

Из уравнений (2.42)—(2.44) выразим сопротивления лучей звезды R₁ = l/g₁; R₂ = l/g₂ ^и R-з = 1/?з через сопротивления сторон треугольника: R₁₂ = l/g₁₂; R₂₃ = l/g₂₃; R₁₃ = l/g₁₃.

С этой целью запишем дроби, обратные (2.42)—(2.44):

где.

Подставив (2.45)—(2.47) в (2.48), получим.

Следовательно,.

Подставив т в (2.46), найдем.

Аналогично.

Структура формул (2.49)—(2.51) аналогична структуре формул (2.42)—(2.44).

Преобразование треугольника в звезду можно пояснить, рассмотрев, например, рис. 2.27, а, б. Схема до преобразования изображена на рис. 2.27, а, штриховой линией обведен преобразуемый треугольник. На рис. 2.27, б представлена та же схема после преобразования. Расчет токов произвести для нее проще (например, методом двух узлов), чем для схемы на рис. 2.27, а.

В полезности преобразования звезды в треугольник можно убедиться на примере рис. 2.27, в, г. Схема до преобразования изображена на рис. 2.27, в, штриховой линией обведена преобразуемая в треугольник звезда. На рис. 2.27, г представлена схема после преобразования, которая свелась к последовательному соединению сопротивлений^[1].

Пример 24.

Найти значения сопротивлений R_b R₂, R₃ в схеме (см. рис. 2.27, б), если сопротивления Я₁₂, Я₁₃, Я₃₂ в схеме на рис. 2.27, а равны соответственно 2, 3, 5 Ом.

Решение. По формуле (2.49), R₃ = 2? 3/(2 + 3 + 5) = 0,6 Ом; по формуле (2.50) R₂ — 5 • 2/10 = 1 Ом; по формуле (2.51), R₃ = 3 • 5/10 = 1,5 Ом.

Рис. 2.27.

• [1] В параграфе 3.31 рассмотрен еще один вид преобразований — преобразованиепоследовательно-параллельного соединения в параллельное.