Лемма 3.5. В кольце главных идеалов если произведение двух элементов делится на простой элемент, то по крайней мере один из сомножителей делится на этот элемент.
Доказательство. Пусть К — кольцо главных идеалов, а, Ъ е е К и (а • Ъ): р, где р — простой элемент в К. Если, а: р, то доказывать нечего. Пусть а не делится на р. По условию, идеал (а, р) главный, пусть (а, р) = (d). Тогда р: d, откуда либо d — е, либо d — ер, где е — делитель единицы. Но во втором случае а: d — = ер: р, что противоречит нашему предположению. Следовательно, d = е и (а, р) — (е) = (1). Но тогда существуют элементы и, v е К, такие что аи + pv — 1. Умножив это равенство на Ъ, получим abu + pbv = b. По условию а? b р, и, очевидно, pbv: р. Следовательно, b: р. Лемма доказана.
Из теоремы 3.15 и леммы 3.5 вытекает следующая теорема.
Теорема 3.16. Кольцо главных идеалов факториально.
Итак, пытаясь доказать аналог основной теоремы арифметики в наиболее общей ситуации, мы выделили три класса колец: евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца.
Мы доказали, что первый класс колец содержится во втором, а второй — в третьем:
{евклидовы кольца} с {кольца главных идеалов} с с {факториальные кольца}.
Существуют кольца главных идеалов, которые не являются евклидовыми, например уже упоминавшееся выше кольцо.
К = |а + Ъ | a, b е Z|. Примером факториального кольца, не являющегося кольцом главных идеалов, является кольцо многочленов с целыми коэффициентами Z[xx, х2]. В этом кольце идеал (xj, х2), состоящий из многочленов без свободных членов, не является главным. В силу того что это кольцо не является кольцом главных идеалов, оно не является евклидовым.
В то время как в евклидовом кольце линейную форму НОД мы получаем из алгоритма Евклида, в кольце главных идеалов можно установить существование линейной формы НОД, минуя алгоритм Евклида. В самом деле, если а и Ъ — элементы кольца главных идеалов К, то идеал (a, b) = (d) при некотором de К. Следовательно, а d, b Id и существуют и, v е К, такие что au + bv = d. Из этого равенства следует, что d делится на любой общий делитель элементов а и Ь. Таким образом, d = НОД (а, Ь).
