Розкладання багаточлена на множники

Висловимо деякі способи розкладання багаточлена на множники.

Розкладання на множники з допомогою групування Членуй багаточлена групуються так, щоб смороду малі загальний множник, який виноситься за дужки.

Приклад. Розглянемо рівняння.

.

Групуємо перші два і останні два члени.

, .

Приклад. Розглянемо рівняння.

.

Віднімемо і додамо, а число 20 розіб'ємо на два доданки 16 і 4.

Рівняння розпадається на два рівняння.

.

Використання формул скороченого множення Приклад. Розв’язати рівняння.

.

Розкладемо рівняння як різницю квадратів.

.

Рівняння розпадається на два рівняння.

.

.

Приклад. Розв’яжемо рівняння.

.

Розкладемо ліву і праву частину рівняння на множники.

Отримаємо .

Рівняння розпадається на два рівняння.

.

.

Виділення повного квадрата або куба двочлена Приклад. Розв’яжемо рівняння.

.

Виділимо повні квадрати.

.

.

Отримаємо рівняння.

.

.

Приклад. Розв’яжемо рівняння.

.

Виділимо повний куб двочлена.

, .

При виділенні повного кубу, коли кубічні рівняння можна перетворити до вигляду.

або.

можна попередньо знайти число. З розкладань знаходимо за формулою.

. (19).

Приклад. Розв’яжемо рівняння.

.

Знаходимо з формули (19).

і випливає використати розкладання.

.

Запишемо рівняння у вигляді.

,.

.

Приклад. Розв’яжемо рівняння.

.

Знаходимо з рівняння (19).

Використаємо розкладання куба суми.

.

Помножимо початкове рівняння на 9. Отримаємо.

,.

.

Приклад. Розв’яжемо рівняння.

.

Знаходимо з рівняння (19).

.

Використаємо розкладання .

Початкове рівняння можна переписати у вигляді.

. , .

Схема Горнера. Розділимо багаточлен на двочлен. Отримаємо.

;

;

;

;

Це ділення можна здійснити за схемою Горнена.

Коефіцієнти часткового і залишок від ділення 26 знаходиться на схемі Горнера.

Приклад. Розв’яжемо рівняння.

.

Раціональні корені рівняння можуть бути лише дільниками числа 6, так як. За схемою Горнера знаходимо.

Це означає, що рівняння буде. Якщо корінь вибраний невдало, те останнє число в рядку не буде дорівнювати нулю.

Приклад. Розв’яжемо рівняння за схемою Горнера.

.

З схеми видно, що корені, вибрані невдало і коренями будуть,. Часткове від ділення буде багаточлен. Рівняння маємо корені .

Використання теореми Гаусса Якщо багаточлен не має раціональних коренів, те використання схеми Горнера даремне, так як неможливо угадати ірраціональні корені.

У цьому випадку можна покладатися розкласти багаточлен з цілими коефіцієнтами на квадратні множники з цілими коефіцієнтами.

Приклад. Розв’яжемо рівняння.

.

Це рівняння не має раціональних коренів.

Спробуємо розкласти багаточлен на два квадратні множника з цілими коефіцієнтами.

.

Розкриваючи дужки і прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях, приходимо до системи рівнянь.

Отут — цілі числа. З останнього рівняння знаходимо, що можливі випадки.

• 1), 2), 3), 4) ,
• 5), 6), 7), 8) .

Оскільки квадратичні множники перестановочні те випадки 1 — 4 повторюють випадки 5 — 6. Томові будемо розглядати лише випадки 1 — 4.

1). З системи рівнянь.

знаходимо .

Оскільки не являється цілим числом, те розкладення на квадратичні множники з цілими коефіцієнтами неможливі.

2). З системи рівнянь.

знаходимо .

Число не являється цілим числом.

3). З системи рівнянь.

знаходимо .

Число не являється цілим числом.

4) ю З системи рівнянь.

знаходимо .

Перевіримо виконане рівняння,. Отримаємо розкладання на множники.

і розв’яжемо квадратні рівняння.

,.

.

Коренями рівняння являються ірраціональні числа.

Викладений спосіб розкладання на множники можна застосовувати і у випадку, коли рівняння має раціональні корені.

Приклад. Розв’яжемо рівняння.

.

Шукаємо розкладання на квадратні множники.

.

Приходимо до системи рівнянь для цілих коефіцієнтів .

Пробуємо випадки. Приходимо до системи рівнянь.

з яких знаходимо розкладання на множники.

.

,.

.