Одновременное оценивание регрессионных уравнений

Косвенный метод наименьших квадратов по сути сводится к оцениванию по отдельности уравнений приведенной формы.

Y₁ = a₁ + b₁X₁ + н₁, (5.1).

Y₂ = a₂ + b₂X₂ + н₂. (5.2).

Можно повысить эффективность оценивания, если объединить данные уравнения и применить к нему обобщенный метод наименьших квадратов.

Пусть Х1 0 Y1 в1 н1.

Х = [ ]; Y = …; в = …; н = … .

0 Х₂ Y₂ в₂ н₂

Тогда уравнения (5.1) и (5.2) можно записать в виде:

Y = Xв + н. (5.3).

Пусть У₁₁ = Cov (н₁, н₁), У₁₂ = Cov (н₁, н₂), У₂₂ = Cov (н₂, н₂).

Если уравнения (5.1) и (5.2) по отдельности удовлетворяют условиям классической модели, матрицы У_ij — скалярные.

Тогда У₁₁ У₁₂

У = [ ——————- ].

У₁₂ У₂₂

— есть ковариационная матрица ошибок регрессии уравнения (5.3). Соответственно, оценка обобщенного метода наименьших квадратов уравнения (5.3) имеет вид b* = (X` У <sup>-1</sup> X)<sup>-1</sup> X` УY.

Для практического применения обобщенного метода наименьших квадратов следует оценить матрицу У. Это можно сделать, применив метод наименьших квадратов сначала к уравнениям (5.1) и (5.2) по отдельности, найти остатки регрессии и принять в качестве оценок матриц У_ij выборочные ковариации Cфv (e_i, e_j). Очевидно, эти оценки будут состоятельными.

Применяя метод одновременного оценивания, можно повысить эффективность косвенного метода наименьших квадратов. Если наборы экзогенных переменных в обоих уравнениях совпадают, то оценка одновременного оценивания совпадает с оценкой метода наименьших квадратов, примененного к уравнениям по отдельности.