Тепловые волны. 
Методы решений линейных и нелинейных уравнений теплопроводности

Поток тепла, переносимый механизмом лучистой теплопроводности, равен.

где.

— плотность энергии равновесного излучения, аросселандов пробег света *). Поток энергии можно записать через градиент температуры в виде, если определить коэффициент лучистой теплопроводности формулой Коэффициент лучистой теплопроводности зависит от температуры как за счет пропорциональности теплоемкости излучения, так и вследствие зависимости от температуры пробега излучения l.

При лучистом механизме теплопроводности энергия может распространяться со скоростью гораздо большей, чем скорость звука в веществе. Это связано с тем, что скорость света при нерелятивистских температурах во много раз больше скорости звука. Если в теле произошло выделение энергии и вещество нагревается до достаточно высокой температуры, то эта энергия вначале быстро растекается путем лучистой теплопроводности. Пока скорость распространения тепла гораздо больше скорости звука, вещество не успевает прийти в движение, давление в нем не успевает выровняться и тепло растекается по неподвижному веществу. В дальнейшем будет дана оценка условий, при которых возникает движение. Мы будем рассматривать здесь распространение тепла путем лучистой теплопроводности только в неподвижной среде, плотность которой не меняется с течением времени.

Если приближенно рассматривать теплоемкость как величину, не зависящую от температуры, и разделить уравнение теплопроводности на, получим уравнение.

Коэффициент лучистой температуропроводностиравен.

Имеется глубокая параллель между этой величиной и коэффициентом обычной температуропроводности газаПоследний совпадает с коэффициентом диффузии молекул, являющихся переносчиками тепла.

При лучистой теплопроводности нагревается и охлаждается вещество, а переносчиком энергии служит излучение, которое играет роль «посредника». Поэтому коэффициент лучистой температуропроводности не просто равен коэффициенту диффузии излучения, но пропорционален еще и отношению теплоемкостей излучения и вещества.

Во многих случаях длину пробега квантовприближенно можно считать степенной функцией температуры (плотность среды считаем постоянной):

В полностью ионизованном газе, где механизм излучения и поглощения света чисто тормозной,. В области многократной ионизации газов При степенном законе коэффициент лучистой теплопроводности также представляется степенной функцией:

причем показатель в области многократной ионизации.

В том приближении, в котором теплоемкость газа считается постоянной, приходим к уравнению с коэффициентом лучистой температуропроводности, равным Уравнение нелинейной теплопроводности имеет вид Обычно при высоких температурах в области многократной ионизации удельные теплоемкость и внутреннюю энергию газа можно аппроксимировать степенными функциями температуры:

где-константа, а к-величина, равная примерно 0,5 (см. § 8 гл. III). При степенном законе теплоемкости уравнение теплопроводности также можно привести к виду (10.15). Введем вместо температуры в качестве неизвестной функции внутреннюю энергию единицы объема.

Заметим, что прии В дальнейшем для удобства сопоставления выводов теорий нелинейной и линейной теплопроводностей мы будем исходить из уравнения (10.15) для температуры. При этом будем иметь в виду, что найденное решение любой конкретной задачи можно сразу же записать и для случая степенной зависимости теплоемкости от температуры.

Помимо лучистой теплопроводности, которая представляет наибольший интерес, существует еще один пример нелинейной теплопроводности. Это — электронная теплопроводность в плазме, о которой шла речь в § 12 гл. VII. (Ионная теплопроводность плазмы также сильно зависит от температуры, но она играет значительно меньшую роль, чем электронная.) Коэффициент электронной температуропроводности Интересно, что нелинейным уравнением теплопроводности типа (10.15) описывается совершенно иной процесс, а именно движение политропического газа (давление и плотность которого связаны уравнением в пористой среде. Плотность газа удовлетворяет уравнению:

где — показатель политропы, — константа, которая определяется пористостью и проницаемостью среды и свойствами фильтрующегося газа.

Конкретным задачам нелинейной теплопроводности соответствуют такие же задачи теории фильтрации.

Процессы нелинейной теплопроводности впервые рассматривались. Я. Б. Зельдовичем и А. С. Компанейцем, которые, в частности, нашли точное решение задачи о распространении тепла от мгновенного плоского источника. Соответствующие вопросы теории фильтрации независимо исследовал Г. И. Баренблатт. Он получил то же самое решение для случая мгновенного сосредоточенного источника, а также решил ряд других конкретных задач.