Задачи геометрического моделирования

Теоретической основой использования ЭВМ для геометрического моделирования является возможность установления изоморфизма между алгеброй, оперирующей множествами абстрактных моделей, и геометрией, объектами которой являются множества координатных точек. Математическое обеспечение систем геометрических расчетов состоит из совокупности методов и алгоритмов построения геометрических моделей.

Определение абстрактных геометрических объектов не затрагивает физические, механические, визуальные и другие свойства или природу моделируемых процессов и явлений: это могут быть градиенты целевых функций в оптимизационных проектных задачах и градиенты функции поверхности Земли (линии наибольшего подъема), волны напряжений и деформаций в сплошных средах, а также волны на поверхности воды. При построении геометрических моделей выделяются аспекты общей математической модели, которые характеризуют ее геометрические свойства: вводится аксиоматика рассматриваемых метрических пространств, определяются допустимые системы координат, их преобразования и классы геометрических объектов, конструируются множества отношений между объектами геометрической модели" операции над ними, а также функции их отображения на модели, внешние по отношению к геометрической.

Одной из самых широких областей применения геометрического моделирования в САПР является синтез и анализ пространственных форм проектируемых объектов [9; 10; 17]. Среди задач геометрического моделирования, инвариантных по отношению к объектно-ориентированным приложениям, выделим следующие: 1) представление математических моделей, характеризующих структуру, форму и положение пространственных объектов; 2) реализация базовых операций геометрических расчетов и анализа объектов; 3) постановка и решение задач проектирования пространственных форм на основе композиционного подхода.

Математические модели, описывающие структуру и форму областей определения геометрических объектов в метрических пространствах, составляют информационно-логическое (инфологическое) представление этих объектов. Геометрические объекты, которые в процессе решения конкретной задачи рассматриваются как неделимые, называются базовыми. Объекты, сконструированные из базовых, называются составными. Самый нижний уровень рассмотрения образуют элементарные геометрические фигуры: нульмерные — точки, одномерные — отрезки линий, двумерные — отсеки плоскостей и поверхностей.

К базовым операциям над геометрическими объектами относятся вычисление характеристик линий и поверхностей и решение задач, которые в прикладной геометрии называют метрическими и позиционными. Это вычисление направлений касательных и нормалей, кривизны и кручения кривых, коэффициентов матриц первой и второй квадратичных форм поверхностей, коэффициентов преобразований к главным осям, главных кривизн; вычисление длин, углов, пересечений, площадей, объемов, моментов инерции, кратчайших расстояний и других параметров, установление взаимного положения геометрических объектов.

Алгоритмы решения задач композиции и декомпозиции геометрических объектов реализуются на основе алгоритмов базовых операций и представления математических моделей геометрических объектов. Типична задача сборки новой геометрической фигуры по нескольким заданным. В процессе сборки необходимо найти сопрягаемые отсеки и разместить их в пространстве; добиться гладкого сопряжения отдельных отсеков; разместить новую геометрическую фигуру в базе данных. Другая типичная задача — расчленение геометрической фигуры на фрагменты определенной структуры. При ее решении необходимо находить точки и линии пересечения поверхностей; перезадавать координатные системы; размещать вновь создаваемые отсеки в базе данных, связывая их указателями с другими геометрическими объектами.

Алгоритмы решения задач геометрических расчетов для тел сложной формы помимо геометрических построений, реализуемых на основе методов аналитической и дифференциальной геометрии, включают в себя алгоритмы поиска объединений и пересечений геометрических объектов. При таком поиске с использованием инфоюгических математических моделей в значительной степени абстрагируются от конкретной геометрической формы объектов. Наличие единой для данной САПР информационной подсистемы позволяет решить все логические и поисковые задачи, встречающиеся при выполнении геометрических расчетов, с помощью системных программных средств ведения и поддержки СУБД. В результате глобальные задачи геометрических расчетов сводятся к ряду операций над элементарными геометрическими объектами, являющимися инвариантными по отношению к информационному обеспечению САПР.