Определение дифференциала. 
Связь между производной и дифференциалом. 
Вид полного дифференциала

Пусть y=f (x) — функция, непрерывная при рассматриваемых значениях х и имеющая производную.

=f '(x).

Из этого равенства следует, что.

f ' (x) + ,.

где — бесконечно малая величина при Отсюда находим что.

Где.

б=.

Итак, бесконечно малое приращение дифференцируемой функции у=f (х) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: 1) величины, пропорциональной бесконечно малому приращению независимой переменной, и 2) бесконечно малой величины более высокого порядка, чем .

Действительно, первое слагаемое.

f '(х) при данном значении х пропорционально? х, а второе слагаемое б таково, что.

при ?х0.

Только в одном случае, когда функция y=f (x) линейная, у=ах+b, приращение функции в точности пропорционально приращению аргумента? х:

.

Причем коэффициент пропорциональности, а постоянен. Но теперь оказывается, что если функция f (x) и не является линейной, то при условии, что она имеет производную, все же существует такой коэффициент пропорциональности f '(x), что величина f '(х) хотя и не равна точно приращению, но отличается от него на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем; при этом коэффициент пропорциональности равен f '(x), значит, он зависит от значения х.

Справедливо и обратное предложение: если для данного значения х приращение ,.

где — бесконечно малая величина более высокого порядка, чем, то функция y=f (x) имеет производную и .

Мы имеем.

.

И так как 0 при, то предел существует и равен б, что и требовалось доказать.

Введем следующее определение.

Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная бесконечно малому приращению аргумента и отличающаяся от соответствующего приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем .

Дифференциал функции у обозначается через dу или df (х).

Необходимым и достаточным условием существования дифференциала функции y=f (x) служит существование производной, и тогда.

.

Приращение независимой переменной х называют дифференциалом dх, т. е.

.

Это согласуется с тем, что дифференциал функции у=х равен.

т. е. dх=?x.

Таким образом, Дифференциал функции равен ее производной, умноженной на дифференциал независимой переменной, т. е.

dу=f '(х)dх.

Вид полного дифференциала.

Пусть функция дифференцируема по х и по у; тогда с помощью частных дифференциалов можем находить как угодно точные выражения для приращений функции при достаточно малых изменениях х и у в отдельности.

Естественно постараться найти выражение для приращения функции при произвольных совместных изменениях ее обоих аргументов. В этом случае приращение функции.

называют полным приращением.

Полное приращение функции весьма сложно выражается через приращение независимых переменных; только в одном случае эта зависимость проста, именно в случае, когда функция линейная:

;

тогда, как легко видеть,.

.

Но оказывается, что для данных значений х и у обычно можно подобрать такие коэффициенты a и b, что выражение хотя и не будет в точности равно, но будет отличаться от? z на величину бесконечно малую более высокого порядка.

Сумма a? x+b?y называется полным дифференциалом функции z=f (x, у); она обозначется через или :

dz= a dx+b dy (*).

Таким образом, разность между полным приращением функции и её полным дифференциалом dz есть величина бесконечно малая более высокого порядка.

Полным дифференциалом функции двух независимых переменных называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений независимых переменных.