Лабораторная работа № 2.

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР.

Цель работы

Ознакомиться с аналоговым и дискретным вариантами реализации фильтра.

Общие сведения.

В аналоговом варианте экспоненциальный фильтр представляет собой апериодическое звено и описывается дифференциальным уравнением.

(15).

где и — параметры настройки фильтра.

Уравнению (15) соответствует амплитудно-фазовая характеристика (АФХ).

(16).

где — постоянная времени фильтра.

Из условия (3) (математическое ожидание) для статического режима определяют оптимальное значение параметра. Коэффициент усиления.

. (17).

Определение оптимального значения параметра производится из условия (4) (среднеквадратичная погрешность оценки).

Для этого предварительно рассчитывают спектральную плотность погрешности экспоненциального фильтра по формуле (7) с учётом (16) и (17).

. (18).

Дисперсия погрешности экспоненциального фильтра, согласно (6), (7), с учётом (16), равна.

. (19).

При вычислении этого интеграла оба слагаемых подынтегрального выражения раскладывают на простые дроби, каждая из которых сводится к табличному интегралу вида.

. (20).

После выполнения соответствующих преобразований получают следующее выражение для дисперсии погрешности фильтрации:

. (21).

Оптимальное значение параметра настройки получают из необходимого условия экстремума функции :

. (22).

Откуда оптимальное значение параметра.

. (23).

Таким образом, функция имеет единственную точку стационарности, тип которой зависит от знака второй производной при .

Можно показать, что при выполнении условия.

(24).

особая точка является минимумом функции, а при выполнении условия.

(25).

в точке, функция достигает максимума.

Таким образом, если сочетание характеристик полезного сигнала и помехи соответствуют случаю (24), то оптимальное значение параметра настройки определяется по формуле (23).

Если это условие не выполняется, то оптимальным является наибольшее допустимое значение параметра .

При программной реализации экспоненциального фильтра дифференциальное уравнение (15) заменяют разностным уравнением вида.

(26).

где i — номер цикла расчёта Отсюда получают следующее рекуррентное соотношение для вычисления сглаженного значения в очередном i-том цикле расчёта:

(27).

К достоинствам алгоритма экспоненциальной фильтрации относятся: малая трудоёмкость расчётов и малый объём памяти ЭВМ, в которой должны храниться величина и обновляемая в каждом цикле расчёта величина .

Пример выполнения лабораторной работы с использованием пакета MCAD представлен в Приложении 3 к лабораторной работе № 2. Здесь представлен вариант расчёта трёхкратного сглаживания экспериментальных данных, полученных от ИИК технологического процесса, построены графики.

Общая часть заданий.

1. Ознакомиться с теоретическим описанием.

2. Выполнить расчёты в MCAD сглаженных значений данных полученных от ИИК. Для расчётов пользоваться формулами:

За начало отсчёта примем следующие допущения:

Расчёт произвести для трёх значений :

= 0,4; 0,5; 0,6.

3. Провести анализ полученных зависимостей на выполнение фильтрации полезного сигнала от помехи.

4. Сделать выводы и дать предложения о возможности применения сглаживающего фильтра для уменьшения помех.