Приложение обобщенной производной Шварца к исследованию бифуркаций потери устойчивости

Диссертация посвящена приложению обобщенной производной Шварца к решению задач о мягкости или жесткости бифуркаций Андронова-Хопфа, удвоения периода предельного цикла, рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла для семейств векторных полей, а также бифуркаций удвоения периода неподвижной точt ки и рождения инвариантной окружности из неустойчивой неподвижной точки для семейств отображений.

Современная теория устойчивости как раздел теории дифференциальных уравнений восходит к вышедшей в 1892 году работе A.M. Ляпунова «Об устойчивости движения"^], хотя отдельные вопросы разбирались и ранее. В этой работе A.M. Ляпунов сформулировал определение устойчивости решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и критерий устойчивости неподвижной точки ОДУ в терминах собственных значений матрицы соответствующего линеаризованного уравнения в окрестности неподвижной точки. В настоящее время этот критерий хорошо известен[13,27]: неподвижная точка ОДУ устойчива, если все собственные значения матрицы соответствующего линеаризованного уравнения имеют отрицательные вещественные части. Менее известны выводы второй части этой работы, в которой рассматривается задача об устойчивости неподвижной точки ОДУ с матрицей соответствующего линеаризованного уравнения, имеющей нулевые или чисто мнимые собственные значения. Для решения некоторых наиболее важных случаев этой задачи A.M. Ляпунов предложил алгоритмы вычисления некоторых величин (которые в настоящее время называются ляпуновскими величинами). Если первая отличная от нуля ляпуновская величина отрицательна, то неподвижная точка устойчива, а если положительна, — то неустойчива. В настоящее время хорошо известно, что ляпуновские величины равны вещественным частям соответствующих коэффициентов нормальной формы Пуанкаре-Дюлака [9,12,30].

Термин «бифуркация» впервые появился в работах А.Пуанкаре. Бифуркацией в данных работах называется скачкообразное изменение качественной картины поведения решений ОДУ при изменении параметра. Значение параметра называется бифуркационным, если существует качественное различие в поведении траекторий при значениях параметра с разных сторон от данного значения.

Выступая на проходившей в 1931 году в СССР конференции по колебаниям с докладом «Математические проблемы автоколебаний», А. А. Андронов [1] рассмотрел бифуркацию рождения предельного цикла из неустойчивого фокуса в однопараметрическом семействе векторных полей определенных в R2. В своем докладе А. А. Андронов показал, что рассматриваемая бифуркация может быть мягкой или жесткой, а решение задачи о мягкости или жесткости данной бифуркации сводится к исследованию устойчивости фокуса при бифуркационном значении параметра. Данное исследование состоит в вычислении соответствующих ляпуповских величин. Эгот и некоторые смежные результаты изложены в книге А. А. Андронова, А. А. Витта, С. Э. Хайкина [2], в статье Н. Н. Баутина [19], а также в книгах Р. Беллмана [22], Ж. Йосса, Д. Джозефа[31] и в обзоре [12].

В 1941 году ученик А. А. Андронова Н.Н. Баутин защитил диссертацию, в которой предложил явные формулы первой ляпуновской величины для некоторых классов полиномиальных векторных полей. Данные формулы громоздки, и в некоторых из них впоследствии были обнаружены ошибки.

В своей вышедшей в 1942 году работе Э. Хопф [84] обобщил результаты А. А. Андронова, относящееся к бифуркации рождения предельного цикла из неустойчивого фокуса, на случай семейств векторных полей, определенных в R" .Сформулировал и доказал основные теоремы, описывающие данную бифуркацию. Тем самым, математический аппарат, связанный с данной бифуркацией (называемой в настоящее время бифуркацией Андронова-Хопфа), обрел современный вид.

Пусть xgR", PgR, /.(*) =.

— однопараметрическое семейство определенных в if" гладких векторных полей, обладающих неподвижной точкой х0(р). Если существует значение р0 е / такое, что спектр кх (р),., кп{р) матрицы с.

3xj ' дх.

ГР (*о (Р" = V.

9xj ' обладает следующими свойствами: то при Р = Ро в неподвижной точке х0(/?0) семейства векторных полей fp происходит бифуркация Андронова-Хопфа. Решение задачи о мягкости или жесткости данной бифуркации сводится к исследованию устойчивости неподвижной точки y0 (/?0) векторного поля /. Для проведения данного исследования следует воспользоваться тем. что в окрестности точки лг0(/?0) векторное поле /" приводится к нормальной форме: где /[ = Re с, — первая ляпуновская величина. В невырожденном случае, т. е., когда ^ 0. мягкость или жесткость рассматриваемой бифуркации определяется значением первой ляпуновской величины. Если 1{ < 0, то рассматриваемая бифуркация мягкая, если /[ > 0, жесткая. Бифуркация Андронова-Хопфа и другие бифуркации семейств векторных векторных полей и семейств отображений рассмотрены в главе 1.

Данные результаты изложены в книгах Дж. Марсдена и М. Мак-Кракена [41], в монографии Ю. С. Ильяшенко [30], а также в [12,29,32,39].

К концу 1940;х годов свой современный вид обрели теория нормальных форм и теория Флоке, обеспечившая развитие теории бифуркаций для предельных циклов векторных полей. Элементы теории нормальных форм изложены в учебнике В. И. Арнольда [9], в книге Д. А. Брюно [23] и в обзоре [12]. Элементы теории Флоке изложены в монографии Ф. Хартмана [52], а также в книге Э. Коддингтона и Н. Левинсона [34].

В 1968;1975 гг. аспирантка Н. Н. Баутина, С. Д. Щуко [58,59] работала над созданием и реализацией на ЭВМ алгоритмов вычисления ляпуновских величин для некоторых классов векторных полей. В созданных С. Д. Щуко программах была реализована передовая для своего времени технология символьных вычислений. Аналогичные программные средства были созданы Б. Хэссардом совместно с Н. Вэном [53].

Вопросы, связанные с приложениями теории бифуркаций, рассмотрены в монографии Н. Н. Баутина [18], а также в книгах Р. Г. Булгакова [24] Р. Абрахама и Д. Марсде-на [67], B.C. Анищенко [5,6,7], Г. Шустера [57]. Монография Н. Н. Баутина посвящена решению задач об опасности или безопасности бифуркационных границ соответствующих бифуркациям Андронова-Хопфа для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся математическими моделями работы некоторых технических систем. Бифуркационные границы соответствующие мягким бифуркациям называются безопасными, жестким — опасными. Монография содержит описание исследований опасных и безопасных бифуркационных границ для систем обыкновенных дифференциальных уравнений являющихся моделями электрической цепи с туннельным диодом, химического реактора, судна с системой гироскопической стабилизации, паровой машины с регулятором прямого действия и некоторых других технических систем.

В свете рассматриваемых в данной монографии примеров, опасность и безопасность бифуркационных границ интерпретируется следующим образом. Достаточно малый выход значений параметров за безопасную границ}' влечет переход системы из состояния устойчивого равновесия в состояние колебаний малой амплитуды (сколь угодно малой при соответствующем выходе параметров) вблизи потерявшего устойчивость состояния равновесия. Сколь угодно малый выход значений параметров за опасную границу влечет неконтролируемое отклонение режима системы от потерявшего устойчивость равновесия.

В книгах B.C. Анищенко изложены основные методы теории бифуркаций, а также рассмотрены примеры приложения данных методов к исследованиям систем дифференциальных уравнений, преимущественно являющихся моделями функционирования радиотехнических схем.

Публикация в 1964 году работы А. Н. Шарковского [54], посвященной сосуществованию периодических орбит непрерывного отображения отрезка, обусловила рост интереса к данному направлению. Выход ряда замечательных работ по этому направлению способствовал тому, что динамика отображений отрезка стала неотъемлемой частью теории динамических систем.

К замечательным результатам относится выдвинутая М. Фейгенбумом [76,77] и доказанная О. Е. Лэнфордом [85] гипотеза относительно взаимосвязи бифуркационных значений параметров соответствующих каскадам бифуркаций удвоений периодов точек семейств отображений.

Особое место среди работ того периода занимает работа [92], в которой Д. Зингер (D.Singer) впервые использовал производную Шварца для исследования динамики отображений отрезков. Результаты этой работы были существенно развиты в [79]. После выхода этой работы стало ясно, что класс отображений отрезка с отрицательным шварциа-ном обладает многими интересными свойствами.

Элементы теории отображений отрезка представлены в книгах С. П. Кузнецова [35], Дж. Гукенхеймера и Ф. Холмса [29], А. Б. Катка и Б. Хасселлблатта [32].

К тому времени было известно, что в невырожденных случаях решение о мягкости или жесткости бифуркации удвоения периода неподвижной точки семейства отображений отрезка сводится к вычислению в бифурцирующей неподвижной точке значения производной Шварца исследуемого отображения, совпадающего с соответствующей первой ляпуновской величиной.

Е.А. Сатаев[49,50] обобщил производную Шварца на случай векторных полей и отображений, определенных в R". Значение обобщенной производной Шварца, вычисленное для бифурцирующих неподвижных точек и предельных циклов семейств векторных полей, а также для бифурцирующих неподвижных точек семейств отображений, совпадает с соответствующей первой ляпуновской величиной. Таким образом, в невырожденных случаях решение задач о мягкости или жесткости бифуркаций Андронова-Хопфа, удвоения периода предельного цикла, рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла для семейств векторных полей, а также бифуркаций удвоения периода неподвижной точки и рождения инвариантной окружности из неустойчивой неподвижной точки для семейств отображений может быть сведено к вычислению соответствующего значения обобщенной производной Шварца.

Как было отмечено выше, решение некоторых научнотехнических задач сводится к ответу на вопрос о мягкости или жесткости соответствующих бифуркаций семейств векторных полей и отображений. Чрезвычайную сложность представляют ответы на вопросы о мягкости или жесткости бифуркаций удвоения периода предельного цикла и рождения инвариантного тора из неустойчивого предельно цикла для семейств векторных полей. Данная сложность обусловлена необходимостью вычисления ляпуновских величин, и как следствие, производных третьего или более высокого порядка для соответствующих отображений Пуанкаре.

В невырожденных случаях (т.е., когда первая ляпуновская величина соответствующего отображения Пуанкаре отлична от нуля), вычисление значения обобщенной производной Шварца вдоль бифурцирующего предельного цикла существенно упрощает ответ на рассматриваемый вопрос.

Диссертация содержит подробное, проиллюстрированное примерами, описание методов вычисления, свойств и приложений к решению задач теории бифуркаций обобщенной производной Шварца.

Научная новизна диссертации состоит в том, что:

• Доказана теорема о равенстве значения обобщенной производной Шварца, вычисленной вдоль бифурцирующего предельного цикла семейства векторных полей, первой ляпуновской величине соответствующего отображения за период.

• Разработана методика, основанная на приложениях обобщенной производной Шварца к решению задач о мягкости или жесткости бифуркаций потери устойчивости, доведена до численных алгоритмов и проиллюстрирована на примерах.

• Доказана мягкость бифуркации рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла в системе двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля.

• Получены значимые для ядерной энергетики результаты, состоящие в исследовании бифуркационной границы в точечной модели йодно-ксеноновых колебаний.

• Доказана мягкость бифуркаций удвоения периода предельного цикла в системах Лоренца и Шимицу-Мариоко.

Личный вклад соискателя состоит в:

• Доказательстве теоремы (в диссертации теорема 2.7) о равенстве значения обобщенной производной Шварца, вычисленной вдоль бифурцирующего предельного цикла семейства векторных полей, первой ляпуновской величине соответствующего отображения за период.

• Доведении до численных алгоритмов методики, основанной на приложениях обобщенной производной Шварца к решению задач о мягкости или жесткости бифуркаций потери устойчивости.

• Доказательстве мягкости бифуркации рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла в системе двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля.

• Получении значимых для ядерной энергетики результатов, состоящих в исследовании бифуркационной границы в точечной модели йодно-ксеноновых колебаний.

• Доказательстве мягкости бифуркаций удвоения периода предельного цикла в системах Лоренца и Шимицу-Мариоко.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Андронов А. А. Математические проблемы теории автоколебаний //Первая всесоюз-ная конференция по колебаниям. JL: ГТИ, 1933. С. 32−71.

2. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физматиз, 1959.

3. Андронов А. А, Леонтович Е. А. Рождение предельных циклов из негрубого фокусаили центра и от негрубого предельного цикла// Мат. Сборник.- 1956. Т.4.Вып.2.—С. 174−224.

4. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер Р. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1968.

5. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой.- Москва, Ижевск: ИКИ, 2002.

6. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических истохастических систем. Саратов: ИКИ, 1999.

7. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

8. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. МИАН.- 1967. Т.90.-С. 3−209.

9. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальныхуравнений. М.: Наука, 1978.

10. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.- М.: Наука, 1974.

11. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1972.

12. Арнольд В. И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций// Динамические систмы 5. М.: ВИНИТИ, 1986. (Итоги науки и техники). (Совр. пробл. мат. Фунд. направл.).

13. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения// Динамические систмы -1. М.: ВИНИТИ, 1985. (Итоги науки и техники).Совр. пробл. мат. Фунд. направл.).

14. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца// ДАН СССР.-1977. Т. 234, № 2. С. 336 339.

15. Афраймович B.C., Быков В. В., Шильников Л. П. О существовании устойчивых периодических движений в модели Лоренца.// УМН.- 1980. Т.35. вып.5. С. 164,165.т.

16. Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. -М.: Наука, 1984.

17. Баутин Н. Н. О рождении предельного цикла из состояния равновесия типа фокус// ЖЭТФ.- 1938. Вып.6. С. 759−761.

18. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1990.

19. Бахвалов Н. С. Численные методы. ЛБЗ, 1997.г.

20. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравненийМ.: ИЛ, 1954.

21. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1976.

22. Блгаков Б. В. Прикладная теория гироскопов. М.: МГУ, 1976.

23. Бунимович А. А., Синай Я. Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца.// Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. С. 212−226.

24. Быков В. В., Шильников А. Л. Границы области существования аттрактора Лоренца // Методы качественной теории динамических систем. Горький, 1989. С. 151−159.

25. Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1998.

26. Гантмахер Р. Теория Матриц. Физмалит, 1966.

27. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М., 2002.

28. Ильяшенко Ю. С. Нелокальные бифуркации. М.: ЧеРо, 1999.

29. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983.

30. Каток А. Б., Хасселлблат Б.

Введение

в современную теорию динамических сис-стем.-М.: Факториал, 1999.

31. Клиншпонт Н. Э. К вопросу о топологической классификации аттракторов лорен-цеватипа //Математический сборник.-2006. Т.197. № 4. — С. 76−122.

32. Кодцингтон.Э., Левинсон. Н. Теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Илл 1958.

33. Кузнецов С. П. Динамический хаос.- М.: Физматлит, 2001. 296 с.

34. Ляпунов А. Л. Задача об устойчивости движения. М.: ОНТИ, 1935. — 386 с.

35. Магницкий Н. А. Математическая модель саморазвивающейся рыночной экономики // Труды ВНИИСИ АН СССР. 1991. С. 16−23.

36. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца // Дифференциальные уравнения, 2001, т.37, № 11, С.1494−1506.

37. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динимики. Едитори-ал УРСС, 2004.

38. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономик // Сб. Нелинейная динамика и управление. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — С.243−262 с.

39. Марсден Д., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. —М.: 1982.

40. Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.

41. Нитецки 3.

Введение

в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975.

42. Пуанкаре А. Т. 1−2: Избранные труды. М.: Наука, 1971;1972.

43. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.

44. Рощин Н. В. Опасные границы устойчивости в модели Лоренца // Прикладная математика и механика. 1978. — Вып.5. — С. 950−952.

45. Рябов Н. А., Семенов А. А. Иссле дование точечной модели ксеноновых колебаний // Известия вузов. Ядерная Энергетика. 2006. -№ 2. — С. 66−73.

46. Сатаев Е. А. Отсутствие устойчивых траекторий у неавтономных возмущений систем типа системы Лоренца // Математический сборник. 2005. — Т.196. № 4. — С. 99 134.

47. Сатаев Е. А. Производная Шварца для многомерных отображений и потоков// Математический сборник. -1999. Т.190. № 11. — С. 139−160.

48. Сатаев Е. А. Производная Шварца для протоков и диффеоморфизмов в RAn // УМН. -1987. -Т.42. № 2. С.241−241.

49. Смейл. С. Математические проблемы следующего столетия // Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск, ИКИ, 2002, — С. 280 — 303.

50. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1976.

51. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн Н. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. -М.: Мир, 1985.

52. Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя /ГУкраинский математический журнал. 1964. Т.16. — № 1. С. 61 -71. *.

53. Шильников A.JI. Бифуркации и хаос в системе Шимицу-Мариоко// Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький. — 1986.-С.180−193.

54. Шильников JI. П. Теория бифуркаций и система Лоренца // Марсден Д., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: 1982.

55. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. М.: Мир, 1988, — С. 240.

56. Щуко С. Д. Вычисление ляпуновских величин с помощью ЭВМ // Труды Горьков-ского института инженеров водного транспорта. 1968. Вып.94. С.97−106.

57. Щуко С. Д. Реализация на ЭВМ алгоритмов различения центра и фокуса. //Труды Горьковского института инженеров водного транспота. 1973. Вып. 342. С. 62−69.

58. Якушкин Н. А. Исследование бифуркационной границы в точечной модели ксеноно-вых колебаний // Известия Высших учебных заведений. Ядерная Энергетика. 2007. -№ 3. — Вып. 2.-С. 132−139.

59. Якушкин Н. А. Исследование системы Лоренца при помощи шварциана //Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 103 -летаю со дня рождения И. Г. Петровского. Сборник тезисов. -М.: МГУ. 2004. -С. 244.

60. Якушкин Н. А. Обобщенная производная Шварца и ее приложения. // Сб.тр. ИССА РАН. Динамика неоднородных систем, 2008, вып.12, с. 139−158.

61. Якушкин Н. А. Обобщенная производная Шварца и ее приложения. // Дифференциальные уравнения т. 44, № 9, 2008, стр. 1293−1296.

62. Якушкин Н. А. Периодические свойства логистического отображения// Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным направлениям, «Ломоносов 2003», секция ВМиК. М.: МГУ, 2003. -С. 17−19.

63. Якушкин Н. А. Шварциан в теории бифуркаций// Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным направлениям, «Ломоносов 2004», секция ВМиК. М.: МГУ, 2004. -С. 31−32.

64. Якушкин Н. А. Шварциан для многомерных потоков, диффеоморфизмов и циклов //Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаменаьльным направлениям, «Ломоносов 2005», секция ВМиК. М.: МГУ, 2005. -С.77−79.

65. Abraham R., Marsden J. Foundations of mechanics. New York: Benjamin/Cummings, 1978.

66. Benedicks M., Carleson L. Dynamics of the Henon map // Annals of math. -1991. -Vol. 133. -P.73 169.

67. Benedeicks M., Carleson L. On iterations of l-axA2 on (-1−1) // Annals of math.-1985. -Vol. 122.-P.1−25.

68. Benedicks W., Viana M. Random perturbations and statistical properties of certain Henon-like maps. In preprint.T.

69. Block L., Guckenheimer, Misiurewicz M., Young L.S. Periodic points of one-dimensional maps//Lecture Notes in Math. Springer. 1979. -Vol. 819. — P. 18−34.

70. Benedicks M., Carleson L. Dynamics of the Henon map // Annals of math. 1991. -V. 133.-P. 73−169.

71. Camacho E., R. Rand, W. Howland Dynamics of two Van der Pol oscillators coupled via a bath// International Journal of Solids and Structures. 2004. -Vol. 41, № 8,1. -P. 21 332 143.

72. Cao V. The global dynamics of some Henon maps. Preprint. 1998.

73. Curry J.H. Algorithm for finding closed orbits // Lecture notes in math. Springer. 1980. -V. 819.-P.111−120.T.

74. Feigenbaum M. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. -1978. 19. — P. 25−52.

75. Feigenbaum M. Universal behavior of nonlinear systems // Los Alamos Sci. 1980. -P. 14−27.

76. Guckenheimer J. On the bifurcations of maps of the interval. // Invent. Math. 39. P.165−178.

77. Guckenheimer J. Sensitive dependence to initial conditions for one-dimensional maps // Comm. Math. Phys. 70. -1979. -P. 165−179.

78. Guckenheimer J. and Williams R.F. Structural stability of Lorenz attractors //Publ. Math. IHES. -1979. 50. -P.59 — 72.

79. Hayashi C., Kawakami H. Bifurcations and Generation of Chaotic States in the Solutions of Nonlinear Differential Equations // 4-й национальный конгресс Теоретическая и Прикладная механика. Варна 1981. Доклады кн. 1. София. -1981. Р.538−548.

80. Hayashi С. Nonlinear Oscillations in Physical Systems. McGraw-Hill, -1964.

81. Henon M. A. Two dimensional mapping with a strange attractor // Comm. Math. Phys. -1976,-Vol. 50,-P. 69−77.

82. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren Losung eines Differential systems//Ber. Math-Phys. sachsische Academie der Wissenschaften'. Leipzig 94(1942) 1−22. (Перевод на данной работы на русский язык представлен в 35.).

83. Lanford О.Е. A computer-assisted proof of Feigenbaum conjectures//Bull of AMS.-1982. V0I.6.-P.427−434.

84. Li T.V., Yorke J.A. Period three implies chaos // Amer. math. Monthly.-1975 -Vol.82. -P. 985−992.

85. Lorenz E. Deterministic non-periodic flow// J. Atmos. Sci. -1963. -Vol. 20. P.130−141.

86. Saltzman B. Finite amplitude-free convection as a initial value problem // J.Atmos.Sci. 1962.-Vol. 19.-P. 329−343.

87. Schilder F., Osinga M., Vogt W. Continuation of Quasiperiodic Invariant Toris // SIAM Journal of applied Dynamical Systems. Vol. 4. No. 3. — P. 459−488. 1.

88. Shil’nikov A. L. On bifurcations of the Lorenz attractor in ShimuzoMorioko model // Physica. 1993. — Vol. 202. D. 2. -P. 202.

89. Shimuzo, Т., Marioka N. Phys Lett A76, 1981.

90. Singer D. Stable orbits and bifurcations of the maps in the interval // Slam journal of applied math.- 1978. Vol. 35.

91. Sparrow C. The Lorenz equations // Spriger-verlag. 1982.

92. Viana M. What’s new on Lorenz strange attractors? // Math. Intelligencer. -2000. Vol.22−3. -P. 6−19.

93. Williams R.F. The structure of the Lorenz attractors //Publ. Math. INES. 1979. Vol.50. -P.321 -347.

94. Yakushkin, N. A. Schwartz derivative and its applications // International Conference «Mathematical Hydrodynamics». Abstracts. Moscow. — 2006. — P.83.ОГЛАВЛЕНИЕ (Расширенное) введение .3ГЛАВА 1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНЬЯ .17.