Использование математического языка для записи и обработки информации

Аксиоматический метод как основа построения математических теорий

Определением называется выражение, в котором разъясняется смысл нового понятия.

Теорема есть утверждение, справедливость которого устанавливается путем некоторого рассуждения, называемого доказательством.

Аксиомой называется истина, принимаемая без доказательства.

Непосредственный вывод из аксиомы или теоремы называется следствием.

Основным методом построения современной математики является аксиоматический метод. При составлении какой-либо теории возникает необходимость в уточнении понятий, установлении связей между ними, в сведении сложных понятий к более простым.

Аксиоматическое построение того или иного конкретного раздела математики осуществляется следующим образом:

• 1) отбираются так называемые первичные термины — конечное число понятий и соотношений между этими понятиями, которые в рамках данной теории не определяются;
• 2) выделяются некоторые первичные утверждения — аксиомы, устанавливающие связь между первичными понятиями и соотношениями (и косвенно определяющие их), принимаемые за истинные без доказательства;
• 3) все новые понятия, вводимые в данной теории, должны быть определены через первичные термины или через ранее определенные понятия и соотношения; все новые утверждения теории (термины) должны быть доказаны на основе первичных терминов или аксиом (или предшествующих теорем) путем дедукции. Дедукция — способ рассуждения, посредством которых из общих посылок с необходимостью следует заключение частного характера.

Аксиоматический метод дает возможность строгого обоснования математических теорий, устанавливает глубокие взаимосвязи между математическими объектами, которые он характеризует.