Методическая схема изучения функций в курсе алгебры основной школы

Опыт, накопленный отечественной школой, показывает, что изучение конкретных функций в основной школе полезно проводить по следующей методической схеме:

1. Рассмотреть конкретные ситуации или задачи, приводящие к данной функции.

На этом этапе учащиеся должны убедиться в целесообразности изучения данной функции, исходя из практики или необходимости дальнейшего развития теории.

2. С формулировать определение функции и записать её в виде формулы.

На этом этапе учащиеся выявляют существенные свойства данной функции, формулируют её определения, записывают функцию формулой, проводят исследование входящих в эту формулу параметров. Здесь же идет усвоение определения функции, выполняются упражнения на распознавание.

3. Ознакомить учащихся с графиком дайной функции.

На этом этапе учащиеся учатся изображать изучаемую функцию графически, отличать по графику данную функцию от других, заданных графиками функций, устанавливать влияние параметров на характер графического изображения функции.

4. Исследовать функцию на основные свойства.

Здесь учащиеся находят область определения и множество значений функции, промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули, экстремумы функции, исследуют её на четность или нечетность, периодичность, ограниченность, непрерывность и т. д.

В основной школе свойства функций устанавливаются по се графику, то есть на основе наглядных соображений, и лишь немногие обосновываются аналитически. В 7 — 9 классах школьники учатся истолковывать свойства функций на трёх «языках»: графическом, словесном и символическом. Это умение формируется постепенно и имеет большое дидактическое значение.

5. Использовать изученные свойства функций при решении различных задачу в частности уравнений и неравенств.

Этот этап является этапом закрепления основных понятий и теоретических положений, связанных с изучаемой функцией, а также этапом формирования соответствующих умений и навыков.

Эта методическая схема является планом — программой для изучения любой функции.

Замечание. Изучение функций в школе связано с новым видом специфической учебной деятельности — исследовательской. Было бы неправильно утверждать, что до изучения функций учащиеся нс встречались с исследовательской деятельностью, но она не была прямой целью деятельности, и учебная задача формировать исследовательские умения не ставилась. При изучении в школе первой конкретной функции — линейной необходимо поставить такую цель.

Специфическая особенность функционального материала выражается в том, что функции есть модели реальных процессов. Изучение отдельных свойств процессов осуществляется путем исследования функций. Конкретные функции обладают определенными свойствами, которые есть абстракции реальных свойств процессов. Установить наличие и специфику для конкретной функции определенных свойств — значит исследовать функцию.

Методы выяснения определенных свойств функций есть методы исследования. Они могут выполняться средствами: 1) координатного метода; 2) элементарного анализа (с помощью уравнений и неравенств); 3) математического анализа (с помощью производной).

Исследовательские умения, необходимые при изучении функций — это умения выделить условия, при которых функция обладает определенным свойством, и умения выяснить, как с изменением условий изменяются свойства функций. Формирование названных специфических исследовательских умений окажет влияние на формирование исследовательской деятельности вообще.

При изучении функций в школе формируются и используются следующие специфические исследовательские действия: установить числовое множество, на котором функция существует, и то множество значений, которое она может принимать на этом множестве; выяснить, убывающая или возрастающая функция на своей области определения или некоторых её частях, имеет ли максимумы или минимумы, каковы корни у функции, если они есть, четна функция или нечетна, периодична или нет, какой вид графика данной функции и т. д.

Для линейной функции это: выяснение характеристического свойства этой функции, множества её значений, влияния коэффициентов к и b на поведение функции, установление вида графика и влияние на его положение значений к и Ь, корней функции и т. д. Рассмотрим все это более подробно.