Ускорение сходимости последовательных приближений

МПИ (1) имеет лишь линейную сходимость, причём в случаях, когда производная функции близка к единице, эта сходимость может быть весьма медленной.

Один путь ускорения сходимости МПИ — построение нестационарных процессов на основе МПИ. На стадии приведения уравнения к задаче о неподвижной точке, можно подметить последовательность уравнений.

(9).

и соответствующей таким уравнениям формуле МПИ.

(10).

параметры подбирать так, чтобы при этом учитывалась информация, получаемая на предыдущем шаге. Если, например, взять равную отношению единицы на производную функции то уравнение (10) будет определять основной метод Ньютона, сходящийся квадратично.

Другой путь — это алгоритмическое построение последовательностей, так или иначе «паразитирующих» на последовательности приближений МПИ (3), т. е. получаемых с помощью несложных арифметических манипуляций над несколькими членами последовательности () и в результате имеющих более быструю сходимость. Для всех таких методов характерны многошаговость, экономичность (поскольку более быстрая сходимость по сравнению с базовой последовательностью достигается без дополнительного вычисления значений функции), а также сложность исследования условий и скорости сходимости, отсюда — отсутствие эффективных априорных оценок погрешностей. Возможны ситуации, когда новый метод окажется сходящимся, в то время как базовый для него МПИ расходится. Рассмотрим два таких метода ускорения сходимости последовательности (3).