Степенные ряды. 
Математический анализ

Ряды, члены которых являются степенные функции.

(1).

называются степенными, а числа — коэффициентами степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда

Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд (1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда.

Решение. Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем q = x, который сходится при 1. Отсюда —1<�х<1, т. е. областью сходимости является интервал (-1; 1). Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что.

2) Если степенной ряд расходится при, то он расходится при всех значениях х таких, что .

Из теоремы Абеля (см. рис. 14.1) следует, что существует такое число R?0, что при R ряд сходится, а при R— расходится Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (—R; R) — интервала сходимости степенного ряда.

На концах интервала сходимости, т. е. при x = -R и x = R, ряд может как сходиться, так и расходиться (см. рис.).

Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда (1) через его коэффициенты. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

(2),.

в котором все коэффициенты, по крайней мере начиная с некоторого номера п, отличны от нуля.

Радиус сходимости:

.

Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R = 0), у других охватывает всю ось Ox (R = oo).

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда.

Решение. Найдем радиус сходимости ряда по формуле.

= = = ,.

т.е. интервал сходимости ряда .

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. На левом конце при х = - данный степенной ряд принимает вид.

;

этот ряд сходится по признаку Лейбница. На правом конце, при х = получаем ряд, представляющий обобщенный гармонический ряд при = 2, у которого все члены с четными номерами равны нулю. Так как = 2> 1, то этот ряд сходится.

Итак, область сходимости данного ряда.