Графическое представление теорема существования и единственности решения

(рис. 1) (рис. 2).

График любого частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению соответствует семейство интегральных кривых. Так как мы уже проверили, что уравнение имеет общее решение, то соответствующее ему семейство интегральных кривых — пучок прямых, проходящих через начало координат. (рис. 1). Уравнение имеет общее решение. Ему соответствует семейство равнобочных гипербол, асимптотами которых являются оси координат (рис. 2), а также прямая .

Задание начального условия означает задание точки, через которую должна проходить интегральная кривая, соответствующая искомому частному решению. Таким образом, отыскивание частного решению. Таким образом, отыскивание частного решения по начальному условию геометрически означает, что из семейства интегральных кривых мы выбираем ту, которая проходит через точку. Согласно теореме существования и единственности решения через каждую точку, в которой функции и непрерывны, проходит одна единственная интегральная кривая. Если в данной точке эти условия нарушены, то это означает, что через эту точку либо вообще не проходит ни одна интегральная кривая, либо проходит несколько. Возьмем, например, уравнение; из (рис.1) видно, что через начало координат проходит бесчисленное множество его интегральных кривых. Это противоречит теореме, так как в точке (0,0) условия теоремы существования нарушены: правая часть уравнения становится неопределенной.

Точки, в которых условия теоремы существования и единственности решения нарушаются, называются особыми точками.