Непрерывные функции. 
Математика

Всякий раз, оценивая неизбежные с течением времени изменения в окружающем нас мире, да и в нас самих, мы пытаемся проанализировать происходящие процессы, чтобы выделить их наиболее существенные черты. Одним из первых на этом пути встает вопрос: как происходит характерное для данного процесса изменение — непрерывно или дискретно, т. е. скачкообразно. Плывет лягушка или прыгает, равномерно ли понижается курс валюты или обваливается, происходит ли перманентная эволюция или революционный скачок? Чтобы унифицировать качественные и количественные оценки происходящего, следует абстрагироваться от конкретного содержания и изучить проблему в терминах функциональной зависимости. Это позволяет сделать теория пределов.

Определение непрерывности

Пусть некоторое явление описывается функцией у = f (x) и точка х₀ принадлежит области определения X. Дадим следующее определение.

Определение 6.8. Функция у = f (x) называется непрерывной при х = х₀, если выполняется условие:

Здесь четко проступает идея близости, о которой мы говорили выше, когда вводилось понятие предела. При неограниченном приближении аргумента х к предельному значению х₀ непрерывная при х₀ функция /(х) сколь угодно близко приближается к предельному значению f (x₀).

Остановимся на двух аспектах этого определения. Вопервых, в данном процессе должен существовать предел и, во-вторых, этот предел должен быть равен значению функции в предельной точке х₀. Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то говорят, что в точке х₀ функция имеет разрыв.

Такая терминология соответствует интуитивному геометрическому представлению о непрерывности и разрыве кривой, служащей графиком функции. Мы вычерчиваем график функции через точку непрерывности, не отрывая руки, между тем как в точке разрыва приходится отрывать руку.

Обращаясь к определению предела в случае процесса 2-го типа, опишем непрерывность функции у = /(.г) в точке х₀ посредством неравенств. Тогда определение непрерывности примет следующую, равносильную предыдущему форму.

Определение 6.9. Функция у = /(х) непрерывна при х = х₀, если для любого сколь угодно малого положительного числа е существует такое положительное число 5, что для всех значений х, удовлетворяющих условию.

выполняется неравенство:

Разности в двух последних неравенствах имеют специальные обозначения и названия: х-х₀ = Ах называется приращепием аргумента, а разность f (x)-f (x₀) = y-y₀=Ay — приращением функции (читается соответственно «дельта икс» и «дельта игрек»). Смысл приращения аргумента и приращения функции ясен из рис. 6.2.

В терминах приращений определение непрерывности принимает наиболее простую форму: функция непрерывна, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

т.е. при Ах, стремящемся к нулю, Ау также стремится к нулю. При этом переменная точка М (х;у) стремится по графику функции к точке М₀(х₀;у₀).

Например, функция у = х² непрерывна при х₀ = 3, поскольку при Дх = х-3, стремящемся к нулю, приращение функции Ау = х²-3², равное произведению (х-3)(х + 3), также стремится к нулю.

Рис, 6.2.

Вспоминая соответствующие свойства пределов, заключаем, что функция, являющаяся результатом арифметических действий над непрерывными в одной и той же точке функциями, также непрерывна в этой точке (для частного требуется, чтобы в этой точке делитель был отличен от нуля).