Лекция 6. Численное решение уравнений. 
Метод итераций

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Для уравнения ввести постановки задач отделения и уточнения корней, сформулировать лемму об оценке погрешности приближенного решения, построить метод простой итерации, получить для него оценку точности, доказать его сходимость.

Пусть требуется решить уравнение.

.

т. е. найти все корни, удовлетворяющие этому уравнению на отрезке .

Задача численного решения уравнения сводится, во-первых, к отделению корней, во-вторых, к последующему уточнению корней.

Отделение корней.

Отделить корни уравнения значит заключить каждый корень в интервал.

.

для которого выполняются условия:

;

— знакопостоянная функция для .

Первое неравенство обеспечивает наличие в интервале хотя бы одного корня, второе условие гарантирует единственность корня (см. рис. 7.1).

Для отделения корней можно использовать аналитический и табличный способы.

Аналитический предполагает исследование функции методами математического анализа, последующее построение графика функции, из которого и определяются интервалы, содержащие единственный корень. Недостаток аналитического способа — неалгоритмизуемость.

Табличный метод предполагает составление таблицы значений, причем. Из таблицы на основании условий.

алгоритмически определяются искомые интервалы. Чтобы не потерять корни, интервал отделения h должен быть достаточно малым.

Уточнение корней.

Пусть — корень уравнения.

.

В дальнейшем — интервал, содержащий единственный корень.

Уточнить корень с заданной точностью значит найти приближенное значение такое, что.

.

Для решения сформулированной задачи необходимо уметь производить оценку абсолютной погрешности метода, т. е. величины .

Лемма об оценке погрешности приближенного решения уравнения .

Лемма. Пусть уравнение. Тогда.

.

где.

.

Доказательство. Вычислим по теореме о конечных приращениях:

.

Очевидно, что.

.

Отсюда.

.

или.

.

Лемма доказана.

Величину называют невязкой. Из леммы следует, что судить о величине погрешности приближенного решения только по величине невязки нельзя. Необходимо учитывать и значение первой производной. Из этого рисунка следует, что одна и та же невязка приводит к существенно разным погрешностям приближенного решения, если производная в окрестности решения сильно отличается.

Метод итераций.

Для построения метода итераций преобразуем уравнение к виду.

.

Это можно сделать в общем случае так:

.

или, где.

.

Постоянный множитель h выбирается при этом из условия сходимости метода (установим его позже).

Пусть известно начальное приближение. Тогда.

Приведенный способ построения числовой последовательности реализуется в методе итераций:

.

Рассмотрим, как ведет себя погрешность решения на итерациях метода. Обозначим.

.

где — погрешности приближенного решения на двух соседних итерациях. Подставим представленные таким образом и в итерационное правило:

.

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки:

.

Пренебрегая остаточным членом, получим соотношение, связывающее погрешность решения метода на двух соседних итерациях:

.

Сделаем некоторые выводы на основании этого приближенного равенства.

Если, то можно ожидать, что и последовательность будет сходиться к решению, когда начальное приближение выбрано достаточно близким к .

Если, то скорее всего и метод будет расходиться, так как каждое последующее приближение будет отстоять от решения дальше, чем предыдущее.

При и погрешности и имеют одинаковые знаки. Сходимость будет монотонной.

При и погрешности и имеют разные знаки. Сходимость является немонотонной.

Проиллюстрируем характер сходимости метода итераций графически. Образуем функции. В решении задачи значения этих функций совпадают. Первый пример соответствует условиям.

и, следовательно, в этом случае наблюдается монотонная сходимость метода итераций. В следующем примере.

.

поэтому имеет место немонотонная сходимость. В последнем примере (см. рис. 7.3,в).

.

При таких значениях производной метод итераций расходится.

Рис. 7.3. Иллюстрация сходимости метода итераций