МНК-идентификатор. 
Теория автоматического управления. 
Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы

Для получения оценки параметров широкое применение находит метод наименьших квадратов. При этом методе оценка получается путем минимизации интегральной прогнозируемой ошибки (невязки).

Алгоритм идентификации, получаемый методом наименьших квадратов, будем называть МНК-алгоритмом или МНК-алгоритмом идентификации, а идентификатор, построенный на основе такого алгоритма, — МНК-идентификатором.

Интегральная невязка (12.51) учитывает все измерения, которые производится до текущего момента. Поэтому оценки, получаемые методом наименьших квадратов, имеют то преимущество, что они меньше зависят от шумов измерения, так как в процессе измерения и интегрирования они сглаживаются. МНК-алгоритмы хорошо противостоят не только шумам измерения, но и другим возмущающим воздействиям.

Утверждение 12.5. МНК-алгоритм идентификации имеет

вид.

где e_n(t) — прогнозируемая ошибка (невязка), P (t) — матрица коэффициентов усиления, которая определяется из уравнения

Алгоритм (12.52), (12.53) обеспечивает параметрическую сходимость (а (?) —? 0 при t —> оо), если выполняется условие постоянного возбуждения сигнала (12.50).

Доказательство. Запишем интегральную невязку в виде.

При дифференцировании этого соотношения по времени следует обратить внимание на то, что интегрирование производится по т, и оно на оценку а (?) не распространяется, так как она зависит от t. Это связано с тем, что неизвестные параметры считаются постоянными, и при получении оценки в момент t для определения невязки используются значения неизвестных параметров в момент t.

Необходимое условие минимума dJ/d а = 0, которое в данном случае является и достаточным, принимает вид.

Произведя транспонирование подынтегрального выражения, последнее равенство можно записать в виде.

Продифференцируем обе части по t:

Отсюда, если положить.

и учесть, что е_п(?) = у (?) — у (?) и у (?) = W (t)а (?), получим МНКалгоритм (12.52).

Теперь покажем, что матрица коэффициентов усиления P (t) определяется из уравнения (12.53). Из очевидного равенства.

которое находится путем дифференцирования (12.54), получим (12.53).

Докажем параметрическую сходимость при МНК-алгоритме. Проинтегрировав (12.56а) от 0 до t, будем иметь

Умножив обе части соотношения (12.52) слева на Р ^l(t) и подставив выражение для невязки из (12.49), получим.

Как следует из (12.566), это соотношение будет выполнено, если.

А это условие будет выполнено, если будет выполнено условие постоянного возбуждения (12.50). Действительно, для любого целого числа N

Следовательно, если выполняется условие постоянного возбуждения, то P (t) —> 0 и а (?) -" О при t -> оо. Утверждение 12.5 полностью доказано.

Кратко рассмотрим, как влияют начальные значения а (0) и Р (0) на оценку. Положив Р (0) = ро/ и подставив выражение для P (t) из (12.566) в (12.57), получим.

Отсюда видно, что малая ошибка при выборе а (0) приводит к малым ошибкам в течение всего процесса оценивания. Кроме того, чем больше ро, тем меньше ошибка. Поэтому ро нужно выбирать настолько большим, насколько позволяет чувствительность к шумам.