Действительные и комплексные числа

Представим основные числовые множества.

Натуральные числа N: 1,2,…, n,… — целые положительные числа.

Целые числа Р:… -2,-1,0,1,2,… — все отрицательные и положительные целые числа и ноль.

Рациональные числа Q можно представить в виде q = р/n, где р и n — целое и натуральное числа.

Рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, т. е.

q = a₀ a₁… a_n или q = a₀ a₁… a_n(a_n). (1.3).

Иррациональные числа Z представимы только в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, т. е.

z = ao a1… a_n… (1.4).

К иррациональным числам относятся:

• 1. Основание натурального логарифма е * 2,7182…
• 2. Число п * 3,14 159…
• 3. _Л[2 * 1,4142…

Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных (вещественных) чисел R.

Между вещественными числами и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждой точке числовой прямой можно всегда указать определенное вещественное число и наоборот.

Комплексным числом z называется упорядоченная пара (х, у) действиельных чисел х и у.

Два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (х₂, y₂) называются равными в том и только в том случае, когда x₁ = x₂, y₁ = y₂.

Сумма и произведение комплексных чисел z₁ = (x₁, y₁), z₂ = (х2, y2) определяются соответственно равенствами:

z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2); z1z2 = (xix2 -y1y2, x1y2 + x2y0. (1.5).

Введем обозначение i = (0,1). В силу равенств (1.5): i = -1. Тогда любое комплексное число можно записать в виде.

z = х + iy. (1.6).

Вещественное число |z| = ^x²+у² называется модулем комплексного числа z.

Пусть z = x + iy. Введем угол ф следующими соотношениями:

Угол ф называется аргументом комплексного числа z.

С учетом соотношений (1.7) комплексное число z можно представить в тригонометрической форме:

z =|z| (cos ф + sin ф). (1.8).

С учетом соотношений (1.7) можно получить формулу Муавра:

(cos ф + i sin ф)^п = cos пф + i sin пф. (1.9).