Уравнение Фредгольма первого рода

Линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:

(8).

где y (s) — неизвестная функция с областью определения , — непрерывное ядро интегрального уравнения, p (x) — некоторая известная функция. Ещё про функцию p (x) говорят, что она представлена истокообразно при помощи функции y (s) и ядра K (x, s). Если ядро замкнуто, то решение единственно.

Интегральное уравнение Фредгольма первого рода рассматривается как некорректно поставленная задача.

Задача является корректно поставленной, если:

• 1) Для любого элемента p € P существует решение y € Y.
• 2) Решение определяется однозначно.
• 3) Решение устойчиво.

Задачи, которые не удовлетворяют вышеперечисленным требованиям, называются некорректно поставленными. Уравнение Фредгольма первого рода некорректна по третьему условию. Малая погрешность в задании входных данных может сильно изменить решение, даже может вовсе его не существовать, решение неустойчиво. Именно поэтому некорректные задачи стали объектом интенсивного исследования.

Для решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода общепринято используют так называемый регуляризирующий алгоритм Тихонова, который позволяет найти функцию столь близкую к точному решению.

В отличие от интегрального уравнения Фредгольма первого рода интегральное уравнение Фредгольма второго рода является корректно поставленной задачей. Тихонов А. Б., Васильева А. Б. Интегральные уравнения. 2 — е издание. М: ФИЗМАТЛИТ. 2002. С. 120 — 125.

В данной работе проверяется гипотеза о возможности прогнозирования ценового процесса торгуемого инструмента на основе свойств динамики незашумленного процесса, без влияния внешней среды.

Ядро выступает в роли среды (источника шума), которое искажает некую случайную динамику. Наблюдаемый процесс — это то, что имеем на выходе линейной системы после воздействия ядра на неизвестную функцию. Задача — убрать воздействие среды, получить функцию плотности незашумленного процесса.