Операции над событиями и их свойство

Любое событие — подмножество ?.

Суммой событий A и B — называется событие, состоящее в наступлении, хотя бы одного из событий A или B или A и B вместе.

Опр. A+B = {w | w e A или w e B}.

A v B — дизъюнкция, A или B.

Опр. A*B — называется событие, состоящее в наступлении события A и B одновременно.

A*B = {w | w e A и w e B}.

A ^ B — коньюкция, A и B.

Если A и B несовместны, то A*B — невозможное событие.

Опр. A-B — называются событие, состоящее в наступление события A и не наступлении B.

A-B = {w | w e A, no w e B}.

A-B = A B.

• 1) A+A=A; A*A=A
• 2) A+B=B+A; A*B=B*A
• 3) (A+B)+C=A+(B+C); (A*B)*C = A*(B*C)
• 4) A*(B+C)=A*B+A*C
• 5) !!A=A
• 6) !? = невозможное событие
• 7) !невозможное событие=?
• 8) A*? = A
• 9) A*невозможное событие=невозможное событие
• 10) A+?=?
• 11) A+невозможное=A
• 12) !(!A+!B) = A*B
• 13) !(!A*!B) = A + B

Относительная частота событий и ее свойства

Опыт проведен n раз и n (A) раз наблюдалось событие,.

W (A) = n (A)/n — относительная частота событий.

• 1) Относительная частота любого события 0 <= W (A) <= 1
• 2) Относительная частота достоверного события W (?) = 1
• 3) A1, A2,…, An,… — любая счетная последовательность несовместных событий, тогда относительная частота

W (?(Ai)) = ?W (Ai).

W (A+B) = n (A+B)/n = (n (a) + n (b))/n = W (A) + W (B).

Вероятностное пространство

Опр. F — класс подмножеств ?, назовем алгеброй.

Если:

• 1) Невозможное e F,? e F
• 2) A e F => !A e F
• 3) { A e F; B e F } => { A+B e F; A*B e F }

Опр. Множество алгебры F — у алгеброй.

An e F, n=1,2,. = > ?Ai e F, ПAi e F.

Опр. (?, F, P) —? пространство элементарных событий, F — у алгебры подмножеств ?, P — числовая функция, определенная на событиях и называемая вероятностью. Эта тройка называем вероятностным пространством, если выполнены след. Аксиомы:

• 1) P (A) >= 0 для любых A e F
• 2) P (?) = 1
• 3) A*B = несовместные события

P (A+B) = P (A) + P (B) — свойство аддитивности.

4) An -> невозможному событию, A1 включает A2 включает A3 включает …

ПAi = невозможному событию. => lim (n->inf):P (An)=0.

• 3 и 4 => 5
• 5) An — последовательность событий, попарно несовместное, то P (?Ai) = ?P (Ai)