Регуляризация Тихонова (Вариационные методы)

Развитие методов решения некорректных задач породило общую теорию регуляризации А. Н. Тихонова. Вариационный метод регуляризации Тихонова базирован на идее о выравнивании отклонения значений теоретической кривой от эмпирической кривой при помощи дополнительного стабилизирующего функционала Щ (x). Это означает, что решается задача минимизации по параметрам неизвестной функции y (s) функционала Тихонова: Немцова О. М. Методы решения обратных задач, выраженных интегральными уравнениями Фредгольма первого рода. Ижевск: Физико — технический институт УрО РАН. 2005. С. 28−34.

(49).

где б — регуляризующий параметр (б >0).

— стабилизатор — специально подобранный положительный функционал, обладающий свойствами нормы, который напоминает штрафную функцию.

Задача некорректна, а значит неустойчива по правой части уравнения Фредгольма. Существуют сколь угодно малые возмущения правой части p (x), которым соответствуют большие возмущения решения y (x), задача считается неустойчивой. Например, округления чисел в процессе счета на компьютере могут приводить к сильным изменениям функции y (x) и решение может быть не найдено.

Исследуем метод регуляризации Тихонова, чтобы найти функцию, сколь угодно близкую по точному решению уравнения Фредгольма первого рода. При решении задачи регуляризации с помощью вариационного метода приходится находить минимум функционала, либо краевую задачу для интегро — дифференциального уравнения Эйлера. Целесообразно применять разностный метод решения задачи. Это несложный численный метод, позволяющий получить решение задачи с хорошей точностью. За точность принимают количество узлов сетки, по которым будет восстановлена неизвестная функция.

С помощью метода квадратур избавимся от производных и интегралов в выражении. Метод квадратур — способ построения приближенного решения интегрального уравнения с помощью замены интегралов конечными суммами по определенной формуле:

(50).

Где узлы кавдратуры (абсциссы точек разбиения промежутка интегрирования [a:b]), — числовые коэффициенты, — ошибка формулы.

Для получения хорошей точности целесообразно выбирать квадратурные формулы высокого порядка точности, например Гаусса или Гаусса — Кристоффеля. Но в данном исследовании возьмем наиболее простые и часто используемые на практике формулы прямоугольников.

(51).

формулу трапеций.

(52).

и формулу Симпсона (парабол) Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. М: Факториал Пресс. 2000. С. 40−42.

(53).

Введем на прямоугольнике, , сетку.

так, что, ,,. Предположим, что имеем равномерные сетки ,.

сильную регуляризацию и единичные весовые функции. Вообще, весовые функции, выбирают исходя из дополнительных сведений о виде функции p (x) и величине погрешности, если дополнительных сведений нет, то обычно полагают равными единице.

Задача принимает следующий вид:

(54).

где есть невязка нерегуляризованной системы.

Приближаем интегралы и производную квадратурными формулами с использованием значений функций в узлах сетки. Получим алгебраическую задачу, обозначив разностное решение через :

где, , при и при, на минимизацию квадратичной формы. Получаем систему уравнений, линейных относительно, приравняв нулю производные от левой части по :

(56).

где.

при.

Матрица получается плотно заполненной, и систему уравнений можно решить методом исключений Гаусса. Отметим что точность аппроксимации имеет второй порядок. Калиткин Н. Н. Численные методы. СПб: БХВ — Петербург. 2011. С. 86 — 112.