Задача оптимизации портфеля в более общей постановке

В этой постановке задачи дополнительное условие.

не включается в постановку задачи.

Следовательно, эту задачу можно решить с помощью метода множителей Лагранжа.

. (3.21).

лишь при одном условии.

. (3.22).

Целевая функция Лагранжа для рассматриваемого условия имеет вид.

. (3.23).

Координаты экстремальной точки х_j находятся из системы линейных уравнений.

. (3.24).

Функция Лагранжа для трех типов ценных бумаг принимает вид.

(3.25).

где следует принять условие л = 0.

Отсюда находим систему линейных уравнений относительно х₁, х₂, х₃ и м:

. (3.26).

Значения определителей D, D₁, D₂, D₃ находятся из соотношений.

Эта точка является исходной при анализе доходности и риска портфеля ценных бумаг. После ее определения инвестору будет известна ожидаемая доходность при минимально возможном риске. Так как в указанной точке доходность растет значительно быстрее, чем стандартное отклонение, то инвестор имеет возможность изменить состав портфеля так, что ожидаемая доходность может заметно увеличиться при незначительном увеличении риска. При этом необходимо иметь в виду, что изменение состава портфеля на заданную величину стандартного отклонения может как увеличить, так и уменьшить ожидаемую доходность.

Метод выбора оптимального состава портфеля можно свести к следующему: выбрав тип ценных бумаг, инвестор рассчитывает состав портфеля для минимально возможной дисперсии. Затем рассчитываются минимально возможное среднее квадратическое отклонение и соответствующая ему ожидаемая доходность. Если инвестор предпочитает повысить ожидаемую доходность, то он для ряда новых доходностей определяет среднее квадратическое отклонение по приведенной выше методике Марковица и выбирает приемлемый для себя вариант.