Инволютивные тождества бесконечномерных алгебр

Одним из важных вопросов при изучении тождественных соотношений в алгебрах (как ассоциативных, так и неассоциативных) является нахождение тех или иных численных характеристик для описания количества тождеств некоторой конкретной алгебры, или, более общо, многообразия алгебр. Ответ на этот вопрос дает знание значений функциональной последовательности коразмерностей тождеств алгебры А, определение которой было дано А. Регевым в [R]. Если обозначить пространство 72-линейных полиномов в переменных х±-,., хп через Vn (x), а идеал всех тождеств алгебры, А через Id (A), то величина сп (А) = dim.

Vn (x).

ВДПМ (А) называется n-ой коразмерностью алгебры А. Непосредственно из определения можно извлечь, что если для любого натурального п значения сп (А) = п = dimVn (x)7 то алгебра, А не удовлетворяет никакому полиномиальному тождеству (или, как еще принято говорить, алгебра, А не является PI-алгеброй). А. Регевым в [R] также было показано, что если алгебра, А является PI-алгеброй, то значения последовательности коразмерностей ее тождеств имеют не более чем экспоненциальный рост, Сп{А) < Для некоторого а. В этой связи нельзя не отметить также работу В. Н. Латышева [L].

Описание алгебр, имеющих не более чем полиномиальный рост коразмерностей, сп (А) < сп1 для некоторых констант с, i, было получено А. Р. Кемером в [К2],[КЗ]. Он показал, что последовательность сп (А) полиномиально ограничена тогда и только тогда, когда, А ф. var (A) и UT2 ^ var (A), где, А — бесконечномерная алгебра Грассмана, a UT2 — алгебра верхнетреугольных матриц размера 2×2. Так как Сп{А) — 2n1 (см. [KR]), a cn (UT2) = 2 + (n + 2)2п~1 (см [L1]), то для любой Р1-алгебры, А либо сп (А) < сп либо сп (А) > с2п.

Бесконечномерная алгебра Грассмана играет очень важную роль в PI-теории: как уже было отмечено, она порождает минимальное многообразие с экспоненциальным ростом коразмерностейтакже она порождает минимальное многообразие без стандартного тождества. Кроме того, наличие стандартной Z2-гpaдyиpoвки на алгебре Грассмана Л = Ло Ф Ai-позволяет определить грассманову оболочку Л (А) — Aq Ло Ф, А ® к для произвольной супералгебры, А = .Ао Ф А. А. Р. Кемер в [К] доказал, что любое многообразие алгебр порождается грассмановой оболочкой некоторой конечномерной супералгебры, то есть для любой PI-алгебры, А найдется такая конечномерная супералгебра В, что Id (А) = Id (A (B)). Это утверждение служит одним из ключевых моментов доказательства гипотезы Ш. Амицура о целочисленности экспоненты ассоциативной PI-алгебры, которое было проведено А. Джамбруно и М. В. Зайцевым в работах [GZ],[GZ1]. Верхней и нижней экспонентами PI-алгебры, А называются величины.

Ехр{А) = Ш jcn{A) и Ехр (А) = Игл.

Ехр (А) = Ехр (А) = Ехр (А).

Еще одним направлением исследований в PI-теории является изучение G-тождеств ассоциативной алгебры А, где G — конечная группа автоморфизмов и антиавтоморфизмов А. Соответствующие определения идеала G-тождеств Id (A, G) и последовательности G-коразмерностей G-тождеств cn (A, G) для алгебры, А были даны А. Джамбруно и А. Реге-вым в [GR]. Однако зарождение этой ветви PI-теории получило в работах Ш. Амицура [А] и [А1], посвященных исследованию инволютивных тождеств алгебр. В них он, в частности, показал, что если алгебра, А удовлетворяет некоторому инволютивному тождеству, то, А является и PI-алгеброй. В [BGZ] авторами установлена свзь между степенью инволю-тивного тождества, А и степенью обычного полиномиального тождества А. Отметим также, что в общем случае наличие G-тождества алгебры, А не влечет наличие у, А обычного полиномиального тождествасоответствующий контрпример построен В. К. Харченко и приведен в книге С. Монтгомери [М]. Аналогично понятию экспоненты алгебры может быть введено понятие G-экспоненты алгебры А. В [GZ2] авторами доказана целочисленность инволютивной экспоненты конечномерной алгебры. В общем случае этот вопрос является открытым, как и многие другие обобщения классических результатов PI-теории на случай G-PI-алгебр.

Целью настоящей диссертации является изучение свойств идеалов ин-волютивных тождеств бесконечномерных ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики, а также изучение идеалов Zp-тождеств бесконечномерной алгебры Грассмана.

Работа состоит из введения и трех глав, разбитых на 9 параграфов. Все основные результаты (леммы, теоремы, следствия и т. п.) имеют двойной индекс: первое число указывает на номер главы, второе — на номер соответствующего результата. Объем диссертации — 84 страницы, список литературы содержит 25 наименований.