Линейное разностное уравнение

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Институт информационных технологий КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА№ 1

По курсу: Специальные математические методы и функции Минск, 2013

1. Найти решение уравнения

с граничными условиями, и начальными условиями, .

Решение:

Будем искать решение в виде ряда:

уравнение фурье функционал экстремаль

.

Тогда:, .

Тогда исходное уравнение примет вид:

или разделяя переменные .

Т.к. и — независимые переменные, то равенство возможно лишь в том случае, когда левая и правая части являются вещественными числами:

.

В результате для нахождения функцийи получаем систему дифференциальных уравнений:

.

Рассмотрим вначале уравнение (2).

В силу нулевых краевых условий имеем:

.

Анализ этих уравнений приводит к выводу, что:

.

Тогда уравнение (1) имеет решение:

.

Итак, мы нашли подходящие частные решения:

.

Скомбинируем из них общее решение в виде ряда:

. (3)

Для нахождения чисел и почленно продифференцируем ряд по переменной :

. (4)

Подставим в (3) и (4). Тогда с учетом начальных условий будем иметь:

.

Мы получили разложение функций и в ряды Фурье по синусам. Поэтому неизвестные коэффициенты определяются по стандартным формулами:

.

Подставим в уравнение (3), для :

.

Ответ:

2. Найти симметричное преобразование Фурье функции

Решение:

Ответ:

3. Решить линейное разностное уравнение

, , .

Решение:

Пусть .

Тогда

.

Получаем операторное уравнение:

Имеем решение:

Функция представляет собой несократимую дробь, знаменатель которой имеет корни, кратности 2.

Тогда находим :

Проверим, выполняются ли начальные условия:

.

Значит, функция является решением исходной задачи.

Ответ:.

4. Найти допустимые экстремали функционала

, .

Решение:

Приступая к решению задачи, замечаем, что:

,

.

Поэтому уравнение Эйлера-Лагранжа выглядит так:

.

Интегрируя, получаем решение:

.

Частное решение:

.

Подставим:

— искомая экстремаль.

Ответ: .

Список используемой литературы

1. Бицадзе, А. В. Уравнения математической физики / А. В. Бицадзе. — М.: Наука, 1976. — 296 с.

2. Болгов, В. А. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: учеб. пособие для втузов / В. А. Болгов, А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин [и др.]; под общ. редакцией Ефимова А. В. и Б. П. Демидовича — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 368 с.

3. Гельфанд, И. М. Вариационное исчисление / И. М. Гельфанд, С. В. Фомин. — М.: Наука, 1961. — 228 с. 3. Жевняк, Р. М. Высшая математика: Дифференциальные уравнения. Уравнения математической физики. Теория функций комплексной переменной: учеб. пособие / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук — Минск: ИРФ Обозрение, 1977. — 570 с.

4. Жевняк, Р. М. Высшая математика: Операционное исчисление. Теория вероятностей. Математическая статистика. Случайные процессы: учеб. пособие / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. — Минск: ИРФ Обозрение, 1977. — 445с.