Семантики ограниченных множеств описаний состояний

Начало бурного развития целого спектра исследований, приведших в результате к созданию того, что на сегодняшний день принято называть модальной логикой, можно, по видимому, отнести к 20-м годам ХХ-го столетия. Разработки в этой сфере велись и раньше, однако основополагающими для понимания специфики современной модальной логики и природы ее возникновения явились, на наш взгляд, работы Льюиса [ 3 О ] и Я. Лукасевича [э/, положившее начало последующим исследованиям.

Введение

модальностей в логическую теорию у каждого из авторов мотивировалось особыми соображениями, касающимися решения специфических проблем. А именно, К. И. Льюис, обращая внимание на парадоксальность теории материальной импликации, изложенной в Principia Mathematica Уайтхеда-Рассела, предложил заменить ее другой операцией, более подходящей, по его мнению, для формализации содержательного отношения логического следования. Эту операцию он назвал строгой импликацией и определил ее при помощи модальных понятий, что и привело к созданию первого модального пропозиционального исчисления. В работе 1918 года [ 1.2.? ] им была опубликована система, названная впоследствии S3, а в 1932 году в совместной с Лэнгфордом работе были сформулированы 5 «канонических» систем S1 и S5. Лукасевич же при построении своей системы трехзначной логики, опубликованной в 1920 г., ставил целью создание адекватной интерпретации временных и модальных суждений, которая, по его мнению, была невозможна в классической пропозициональной логике из-за ее двузначности. Для указанных целей им, помимо известных истинностных значений 1 («и») и О («л»), вводилось третье Уг, которое можно интуитивно определить как «неопределенно» или «возможно». felice/ h.-^^&t-Ks.

-< 2, ^ ^ 4- с? 3 а.. —. ' С- [ 2.]. Как оказалось впоследствии, адекватной теорией модальных, суждений эта трехзначная система все же не стала, однако имела неоценимое значение сама по себе, так как положила начало новой самостоятельной ветви математической логики многозначной логике. (В дальнейшем изложении темы многозначной логики мы касаться не будем, так как она выходит за рамки данной работы). Определения базовых логических операторов, данные.

Лукасевичем для его системы трехзначной логики вряд ли можно признать удачными. Так определение конъюнкции, когда оба ее члена, А и В принимают значение !/2 вызывает сомнение: пусть высказывание А.

21 декабря будущего года в 16.00 я будут в Варшаве", а высказывание.

В — «21 декабря будущего года в 16.00 я не будут в Варшаве». По.

Лукасевичу, они имеют значение /4, их конъюнкция также имеет значение Уг. «Вряд ли можно оценить как возможное или неопределенное высказывание «21 декабря будущего года я буду в.

Варшаве и не буду в Варшаве". Естественнее его считать (определенно) ложным [ ?} П-/2. • .г- 6 ]• (Следует отметить, что впервые, по всей видимости, на этот спорный момент при табличном определении конъюнкции в трехзначной логике Лукасевича обратил внимание.

Гонсет, еще в 1938 году 3 Ц^ ]•.

Вернемся к «льюисовской» линии развития модальной логики.

Сформулируем систему исходных положений нового (модального) исчисления, заданную в книге Льюиса и Лэнгфорда.

Анализируя свойства, характерные только для строгой импликации, Льюис выявляет следующий принцип материальной импликации, являющийся, по его мнению, основным источником ее парадоксальности: ~ (р ~ я) =5 (р =>я).

Аналог данной формулы: ~ (р ~ я) < (р < ц) в системе строгой импликации не принимается. Известные парадоксы материальной импликации, источником которых является указанная формула, такие., например, как ~ р =э (рЪ ц), р =5 (я=> р), ~ (р =э я) (р =э ~ (р г> я) (я :э р) не принимаются в системе строгой импликации.

В дополнение к известным аксиомам А1 — А7 своей системы 8] Льюис вводит еще одну.

А8. О (р я) < 0 р

Если до ее введения в системе Льюиса были доказуемы вполне приемлемые с интуитивной точки зрения теоремы вида р < 0 р- 0 ~ р < р- ~ 0 ~ р < 0 р (и их отрицательные корреляты), то теперь доказуемыми оказываются такие теоремы, которые сам Льюис назвал «парадоксами строгой импликации»: ~ 0 ~ р. <. р < я — т. е. самопротиворечивое суждение влечет любое, ~ 0 ~ р. <. я <рнеобходимо истинное суждение строго имплицируется любым, а также некоторые их следствия, являющиеся неприемлемыми (парадоксальными) с точки зрения интуиции.

Сам Льюис, говоря о парадоксальных теоремах своей системы, отличает их от парадоксов материальной импликации, утверждая, что эти парадоксы строгой импликации являются неизбежным следствием логических правил, находящихся в повседневном употреблении. Парадоксальны они лишь в том смысле, что на них обычно не обращают внимания, так как заключения из самопротиворечивых суждений выводятся редко. Данный аргумент, однако, не кажется убедительным. Тем более, что именно систему 82, образованную добавлением аксиомы А8 к группе аксиом А1 — А7, сам Льюис предлагает определить в качестве системы строгой импликации^ 2. ъ Т.

Таким образом, система строгой импликации, избавленная от парадоксов материальной, обрела, так сказать, свои собственные, т. е. вопрос об адекватности понятия строгой импликации содержательному отношению логического следования остался, вообще говоря, открытым, но начало построению различных модальных исчислений было положено. ' • • .

В дальнейшем Льюис вводит свои известные 5 групп (матриц), в < которых одинаковым образом интерпретируются отношения pq, ~ р и лишь спецификация функции 0 р оказывается в каждой группе различной.

Данные группы, составленные из чисел 1,2,3,4 служат для доказательства совместимости или независимости аксиом и правил различных модальных систем, т. е. играют вспомогательную роль. Адекватной алгебраической (числовой) интерпретацией льюисовских систем они не являются, т.к. любая из них, если и удовлетворяет всем аксиомам и правилам к.-л. из систем Льюиса, обязательно удовлетворяет и еще некоторым формулам, которые в данной системе недоказуемы.

Выделенными значениями для всех пяти групп Льюиса являются 1, 2, причем в каждой из них строгая импликация и знак модальной функции интерпретируются как некоторые четырехзначные функции [ 2.1., /¿-г-'6 ].

Очень скоро выяснилось, что «классические» способы решения проблем разрешимости и полноты при исследовании льюисовских модальных систем не применимы.(Это было связано с не истинностнофункциональным характером модальных операторов) Для решения этой проблемы были предложены интерпретации указанных исчислений и некоторых других исчислений т.н. «льюисовского типа» в нелогических терминах, а именно в терминах некоторой алгебраической системы или, скажем топологической теории. Например, в одной из работ Мак-Кинси было предложено оригинальное решение проблемы разрешимости для льюисовских систем Б2 и Б4 [ - «ь з ]. Опишем очень бегло основные понятия данного подхода к решению указанных проблем.

В качестве базового вводится понятие матрицы. Матрица — это упорядоченный класс (К, Б, —, *, X), где К — некоторое (непустое) множество элементов, Б — непустое правильное подмножество множества К- *, X — функции, определенные на множестве К. Дополнительные операции определяются так. (у + г) = -(-ух-г) (у->г) = -*(ух-2) (у = (у -> х (г у).

К в данном случае может истолковываться как множество элементов матрицы, Б — множество «отмеченных» элементовалгебраические операции -, *, X, +, —" и <->, определенные на матрице, соответствуют логическим операциям отрицания, возможности, конъюнкции, дизъюнкции, строгой импликации и строгой эквивалентности. На базе этого общего определения матрицы строится определение 82 — матрицы. Матрица Ш = (К, Б, —, *, X) удовлетворяет высказыванию, а системы 82, если любой способ оценки, а на основе К с применением —, *, X, +, -> и вместо 0, V, < и = соответственно, приводит к элементу из Б. Ш называется 82 — матрицей, если она удовлетворяет каждой доказуемой формуле 82. а < Ь < = >а — >Ь является элементом множества Б. Далее формулируется и доказывается ряд теорем. В частности, теорема: если Ш = (К, О, *, х) — нормальная 82-матрица, то К — булева алгебра относительно х, +, -, <. Из доказательства вытекает справедливость теоремы о том, что необходимым и достаточным условием того, чтобы матрица указанного вида была нормальной 82 — матрицей, является истинность утверждений: 1.) К является алгеброй Буля по отношению к -, х- 2) Э — это непустое правильное подмножество множества К такое, что если х и у находятся в Б, то и х X у находится в Б, а если х находится в Б, а у — в К, то х + у находится в Б- 3) — * О находится в Б- 4) если — * х находится в Б, то х = о- 5) если х находится в К, то х < * х- 6) если х и у находятся в К, то * (х + у) = *х + *у.

Под характеристической матрицей для S2 понимается матрица, которая удовлетворяет каждому доказуемому в S2 высказыванию и, кроме того, такова, что любое высказывание, удовлетворяемое ею доказуемфв S2 [ ъч. гъ/ ].

Собственно теорема о критерии доказуемости некоторого высказывания у в S2 основывается на известном свойстве подформульности. Пусть у — высказывание системы S2, содержащее ровно г подвысказываний. Тогда у доказуемо в S2, е т. е. оно удовлетворяется каждой нормальной S2 — матрицей, содержащей не более 2 2 г +1 элементов. (Под подвысказыванием? некоторого высказывания, а понимается его любая — правильная или неправильнаячасть) метод разрешения для S4 строится схожим образом. В дальнейшем алгебраический подход при построении различных модальных исчислений развивался в работах многих авторов, таких в частности как — Е. Леммон [/8,08-/2.з>з ь, РЛЪль^" 5лагг|>х/о—т=-д]Скажем, в работе Е. Леммона «Алгебраическая семантика для модальных логик I» результат Мак-Кинси и Тарского относительно S4 распространяются на шесть модальных систем. Для этого вводится понятие регулярной матрицы (матрица ГП = < М, D, u, гл, -, Р, > называется регулярной, е т. е.

I. Ш является собственной IL D — аддитивный идеал в М;

III. Если х ч-> у б D, то х = у, устанавливается связь между регулярными матрицами для каждой из исследуемых систем и алгеброй определенного типа. Затем, с использованием матрица Линденбаума, доказывается, что каждая система обладает свойством финитности моделей (финитной аппроксимируемости) и в результате разрешима.

Попытки семантического построения различных систем модальной логики предпринимались такими авторами, как.

Г. Х. фон Вригт [ 3, Ч ], (ЧКарнап [ ],.

С.Крипке [/.г- ], Я. Хинтикка [ ] и др. В частности, в работе «Очерк модальной логики» Г. Х. фон Вригт предлагает «содержательный» способ установления разрешимости некоторых систем Льюиса, основанный на модифицированном методе таблиц истинности. Одним из результатов предпринятого в работе исследования явилась формулировка известной системы М с бесконечным множеством несводимых модальностей. В дальнейшем Б. Собоциньским была показана дедуктивная эквивалентность системы М и системы Т. Гёделя и.

Фейса [ ]. (Система Т: к аксиомам и правилам вывода КИВ добавляются аксиомы: М. А1 Пр=эр ьа.

МА2. С3(р^) з (Шр^Шц) и правило вывода —) гСЗ А.

Одной из первых удачных попыток логико-семантической (истинностной) интерпретации систем модальной логики была предложенная Р. Карнапом интерпретация модальностей в терминах описаний состояний или, — «возможных миров». Он задал указанную интерпретацию системы Б5. В работах упомянутых выше авторов, а также такого ^ссл^о^сг^Ге-дл/иаи (-> Монт-е-гбыла дана содержательная интерпретация целого спектра льюисовских систем.

Рассмотрим несколько подробнее семантику «возможных миров», предложенную С. Крипке в качестве адекватной интерпретации так называемых нормальных модальных систем. Будем основываться на работах Крипке «Теорема полноты в модальной логике» и «Семантический анализ модальной логики I. Нормальные модальные исчисления высказываний» [ /? — / .5″ ]. Отметим, что модальное исчисление называют нормальным, если в качестве теорем в нем содержатся, ¦} схемы аксиом Аз Аи? (А з В) з (I, А Ь? В), а в качестве допустимых правил вывода — если |- А, |- А :=> В, то В и^. Нормальными являются х системы 85, М, 84, Вг. В качестве базовых вводятся понятия «действительного» и «возможного» мира, отношения достижимости (альтернативности, возможности) между мирами, (нормальной) модельной структуры. Нормальной модельной структурой называется упорядоченная тройка (О, К Д), где К — непустое множество (возможных миров), в е К — некий выделенный («действительный») мир, К — бинарное отношение на К. «Нормальность» модельной структуры определяется требованием рефлексивности К Такая структура называется автором также М — модельной структурой. Если отношение Я помимо рефлексивности еще и транзитивно, то соответствующая модельная структура называется 84 — м.с.- если II рефлексивно, транзитивно и симметрично, то соответствующая н.м.с. является 85 — структурой. Отношение Н1 Я Н2 между мирами поясняется так: «Н2 возможен относительно Н1» означает, что высказывание, истинное в Н2, возможно в Н1. Определяется функция оценки: Ф (Р, Н), соответствующая н.-л М-(84, 85) м.с. (<3, К, Я). Переменная Р пробегает множество атомарных подформул А, а переменная Н — элементы К. Множеством значений Ф служит {Т, Р}. Если значения каждой подформулы В формулы, А уже определены, то оценка сложных формул определяется индукцией по числу связок в формуле. Если Ф (В, Н) = = Ф (С, Н) = Т, то Ф (В л С, Н) = Тв противном случае Ф (В д С, Н) = Р. Если Ф (В, Н) = Т, то Ф (~ В, Н) = Р. Если Ф (В, Н) = Б, то Ф (~ В, Н) = Т. В качестве исходной модальности берется? (необходимость): Ф (П В, Н) = Т если только если (е.т.е.) Ф (В, Н') = Т для всех Н' из К таких, что Н К. Н' - то есть Ф (П В, Н) = Т. е.т.е. формула В истинна во всех мирах Н («достижимых» из него). С > ;

Формула, А является истинной в модели Ф, связанной с м.с. (<3, К, Я), е.т.е. Ф (А, О) = Т, и ложной, е.т.е. Ф (А, О) = ?,. Формула является общезначимой (М, 84, 85), е.т.е. она истинна во всех своих (М, 84, 85) моделях. Формула является выполнимои, е.т.е. она истинна хотя бы в одной из моделей. Крипке доказываются теоремы полноты и непротиворечивости относительно построенных теорий, т. е. фактически утверждение о том, что формула общезначима, е.т.е. она доказуема в соответствующей системе. При доказательстве теорем используется аппарат семантических таблиц Бета ]. В дальнейшем данные семантики, называемые реляционными, были обобщены. Если у Крипке отношение К определяется на множестве элементов К, т. е. между парами миров, то в семантиках Монтегю — Скотта отношение достижимости определяется между элементами и подмножествами К, т. е.ЯсКх2к[Х.

Семантики возможных миров в гораздо большей степени, чем, скажем, алгебраические соответствуют содержательным представлениям о модальностях. Однако и они вызывают ряд серьезных вопросов. Е. К. Войшвилло, характеризуя семантики возможных миров, пишет, что они несколько проясняют смысл модальных высказываний* «Так, становится ясным, что содержащиеся в этих высказываниях утверждения относятся не только к некоторому (действительному, актуальному) миру, но и к множеству достижимых из него миров, составляющих определенную его окрестность. Однако остается неясным, почему, например, действительный мир, как и его окрестность, относится к некоторой модельной структуре и что представляет собой последняя в онтологическом плане или с точки зрения гносеологии.

Неясно также и то, что представляют собой возможные миры и отношение достижимости между ними, чем обусловлено различие достижимости в различных системах." [ 3 }? & ].

Е.К.Войшвилло следующим образом объясняет понятие модельной структуры в реляционном семантике для исчисления S 5 -Льюиса. Возможный мир? модельной структуры трактуется как множество фактов и связей между ними, выражаемых законами. Описания мира? можно представить как Г U а, где, а есть классическое o.e., а Г — множество упомянутых законов и, возможно, также (при развернутом описании) некоторых их следствий нефактического характера в языках рассматриваемых систем. Существенно, что Г ограничивает множество различных фактических состояний мира. Так, при наличии закона V х (А (х) — > В (х) исключается o.e. а, в которых имеется A (aj) и одновременно В (а-) для любых индивидов а{. Если М есть множество всех возможных классических o.e., то Г выделяет из него подмножество Мг (которое не является пустым в силу непротиворечивости Г). Это последнее представляет собой модельную структуру S5, если учесть, что отношение достижимости R имеет место для любых aj, щ е Мг.

Таким образом, мирам в формальной семантике соответствует классическое o.e. а (наличие же законов Г в этих мирах находит выражение именно в выделении модельной структуры)." [ з, ^ ].

Возможно ли построение семантик «более содержательных», чем семантики возможных миров, т. е. не использующих понятий «возможный мир» и «модельная структура» ?

В качестве одной из альтернатив существующих семантик модальной логики Ю. В. Ивлевым предлагаются так называемые семантики ограниченных множеств описаний состояний [ ].

Исходной в его подходе к исследованию систем с логическими модальностями является последовательная интерпретация каждого элементарного высказывания в качестве логически истинного, логически недетерминированного и логически ложного высказывания. Далее каждая конъюнкция логически недетерминированных элементарных (в логике предикатов — атомарных) высказываний в свою очередь интерпретируются в качестве логически недетерминированного или логически ложного высказывания и т. д. В результате последовательных интерпретаций такого рода из множества всех возможных описаний состояний (далее o.e.) для формулы могут исключаться некоторые описания состояний. В чем преимущество предлагаемых семантик по сравнению с семантиками возможных миров? Данные семантики, хотя связь их с семантиками возможных миров очевидна, не используют требующих существенных пояснений понятий «возможный мир» и «модельная структура». Кроме того, в случае пропозициональной логики и логики предикатов с конечной предметной областью возможно исчерпывающим образом перечислить все интерпретации переменных или атомарных высказываний для данной формулы или данного конечного множества формул и, как следствие, перечислить все конструкции называемые омосами и подомосами (ограниченными и дополнительно ограниченными множествами описаний состояний соответственно) и выполняющие роль модельных структур семантик ВОЗМОЖНЫХ миров [ ?,/63.-/6? ].

Основной целью работы является построение семантик модальной логики, отличных от существующих в плане большей содержательности используемых в них понятий, и а. ч, а то о. LO ¦ .

Для реализации цели диссертационного исследования ставятся и решаются следующие основные задачи:

1. Анализируются способы построения ограниченных и дополнительно ограниченных множеств О.С. для формулы с числом переменных п равным 2, для чего, в свою очередь, во-первых, проводится доказательство двух, так называемых ограничительных теорем (О.Т.) — во-вторых, на основе построенных доказательств введена, формула, определяющая число как «действительных», так и «мнимых» подомосов с п=2.

4 '.

2. Полученные результаты последовательно распространены на произвольные формулы с числом переменных п=3, п=4, п=5, п=6, для чего, в свою очередь, во-первых, обобщены формулировки О.Т. на случаи с каждым из указанных значений пво-вторых, модифицирован (видоизменен) алгоритм нахождения «корректных» («действительных») и «некорректных» («мнимых») подомосов для формул с указанным числом переменных.

3. Полученные результаты и используемые понятия (понятие группы при осуществлении определенной выборки из исходного множества О.С. для формулы, понятие подгруппы, перехода по поглощению и др.) обобщены на случай с произвольным конечным числом переменных п в формуле.

4. Показана возможность конструктивного описания множества омосов для формулы с произвольным конечным п в формуле, для чего осуществлено разбиение общего Чгшсла омосов на конечное число степенных слагаемых определенного вида.

5. Показана математическая («вычислительная») эквивалентность формулировок (и числа) О.Т., новых множителей при построении переходов по поглощению и определенных слагаемых из указанного разбиения числа омосов для произвольной формулы. С учетом полученных соответствий, осуществлена переформулировка алгоритма нахождения общего числа «мнимых» и «действительных» подомосов для формулы с произвольным конечным числом переменных п.

6. Осуществлены дальнейшие преобразования полученных алгоритмов для некоторых значений пД — где п число переменных в.

Заключение

.

Логико-методологическое значение семантик ограниченных множеств описаний состояний.

Методологическое и практическое значение результатов изложенных в настоящей работе заключается в возможности постановки ряда проблем, относящихся к модальной логике, исследованию непосредственных и сложных умозаключений, программированию и в некоторых случаях — в указании путей их решения.

1. В частности, как было показано в главе I, процесс установления числа ограниченных и дополнительно ограниченных множеств описаний состояний для произвольной формулы поддается конструктивному описанию, то есть? в принципе, алгоритмизируем* в связи с этим мы выдвигаем задачу построения компьютерной программы, автоматизирующей указанный процесс, а также задачу минимизации предложенных алгоритмов.

2. Не построено конструктивное доказательство теоремы о полноте предикатного расширения семантики омосов для системы S5 Льюиса.

3. В ходе разработки темы исследования выяснилось, что полученные для определенных значений п результаты эффективно применимы к анализу непосредственных (и сложных) умозаключений. К примеру, формулировку О.Т. для п=2 приведенную в параграфе 1 главы I, можно переинтерпретировать следующим образом. Пусть ОГ' содержатся формулы Саь Са2 иiM (a1A-1a2). Допустим, что ai есть: «Некоторые S суть Р», а2 — «Некоторые Р суть S». Тогда формула (-^лаг) является логически ложной наряду с (aiA-ia2), то есть при наличииiM (aiA—<а2) в ОГ' формулаiM (-iaiAa2) может как содержаться так и не содержаться в ОГ'. Пусть теперь а} - есть высказывание формы: «Все S суть Р», а2 -«Некоторые S суть Р». Высказывание формы «Все S суть Р и неверно, что некоторые S суть Р» (т.е. aiA—ia2) логически ложно, а высказывание формы: «Неверно, что все Б суть Р и некоторые 8 суть Р» (т.е. —(а^аг)), логически ложным не является. Иными словами, в ОГ' не могут, одновременно содержаться ограничения —М^л-^г), —М (а1ла2). Общее" число «совместимых» умозаключений указанного вида (допустимых наборов ограничений) 22-Зп при п=2. В связи с этим выдвигается задача дальнейшего применения полученных результатов к анализу сложных умозаключений и их систем.

4. Следующей актуальной задачей является построение семантик логических модальностей для системы Льюиса и системы М Фейса-Вригта. В основе данных семантик должно лежать понятие относительно ограниченного множества описаний состояний (огоса), являющееся обобщением понятия омоса. Необходимость обобщения указанного понятия связана с характером отношения достижимости в (реляционных) семантиках для 84, М. Если в реляционной семантике для исчисления 85 Льюиса отношение достижимости К является рефлексивным, симметричным и транзитивным (то есть имеет место для любой пары миров аь а2 из соответствующего то в 84, как известно, отбрасывается свойство симметричности Я, а в М — еще и транзитивности.

Понятие огоса вводится Ю. В. Ивлевым на основе следующих соображений. Для решения вопроса об общезначимости или выполнимости формул в М и в 84 необходимо последовательно рассмотреть все О.С. из исходного множества Взяв некоторое О.С. -а, в качестве исходного, следует рассмотреть все ограничения, которые могут быть наложены на возможные логические формы элементарных высказываний. Совместное ограничение переменных формулы обозначается ОГ', результат ограничения множества Увключает и соотносительно которого ведется. рассуждение. В результате для каждого а, (а, е получаем некоторое множество огосов, каждый из которых представляет собой упорядоченную тройку < ОГсц-У" >

Огосы для формул, не содержащих итерированных модальностей, называются огосами первой степени. Если в формуле в области действия модального оператора содержатся (самое большее) п модальных операторов, то формула имеет степень п+1. По каждому огосу первой степени строится множество огосов второй, третьей и т. д. степени в зависимости от степени модальной формулы.

Для получения огосов второй степени на основе данного огоса первой степени в семантике для системы М следует в свою очередь интерпретировать ограничение каждой переменной как необходимое и случайное, исходя из содержательных соображений о том, что нечто является истинным по необходимости или случайно. То есть ограничение Ьр может «вторично» ограничиваться в семантике для М как 1Хр или СЬр. В случае интерпретации двух и более переменных как «вторично» случайных, следует рассмотреть все случаи совместной невозможности ограничений таких высказываний. Для получения огосов третьей степени вторичные ограничения, в свою очередь интерпретируются как необходимые и как случайные, с учетом совместной возможности или невозможности двух «случайных» высказываний и т. д. При построении семантики огосов для 84 понятие огоса для формулы без итерированных модальностей сохраняется, а для получения огосов второй и более высоких степеней ограничения каждой переменной интерпретируются следующим образом: ограничением ЬА является 1ХА, а ограничением СА может быть как ЬСА, так и ССА.

Огос степени п представляет собой дерево, стволом которого является первый (по построению) подогос (огос входящий в огос степени п). Первым подогосом степени п является он сам. На основе каждого, а аеУ" первого подогоса) строятся вторые подогосы. На основе каждого аиз каждого второго подогоса строятся третьи подогосы и т. д. .'¦•.: '.

Подформулам модальной формулы степени п следующим образом приписываются значения в огосе п-ой степени.

1. Если подформула имеет степень 1 и не находится в области действия модальных операторов, то ее значение определяется в первом подогосе, рассматриваемом безотносительно к подогосу больших степеней.

2. Если подформула В формулы Б имеет степень к и вид ЬА или МА и не находится в области" действия модальных операторов, то рассматривается огос начиная с первого подогоса до к-ых подогосов.

3. Подформуле формулы В степени один имеющей вид ЬК или МК и находящейся в области действия (к-1)-го модального оператора приписываются значения в к-ых подогосах.

4. Формулам не содержащим модальных операторов обычным образом приписываются значения в описаниях состояний. На основе значений формул, А и В обычным образом приписываются значения формулам, А зВ иА. в описаниях состояний.

5. Формула ЬА является истинной в О.С. а если и только если (е.т.е.) формула, А истинна во всех описаниях состояний, возможных относительно а, то есть является истинной в каждом Р (РеУ").

6. Формула МА является истинной в О.С. а, е.т.е. найдется такое О.С. Р (Ре,¥-"), в котором, А истинна.

7. Формула истинна в огосе если она истинна в его исходном О.С., в противном случае она является ложной в этом огосе.

8. Формула является логически общезначимой, е.т.е. она истинна в каждом огосе.

9. Формула является логически выполнимой, е.т.е. найдется такой огос, в котором она истинна.

В качестве примера Ю. В. Ивлев рассматривает следующую формулу степени 2:

L (Lp vLq) id (LLp v LLq).

Возьмем в качестве исходного О.С. {p, q}, тогда одним из огосов первой степени для данной формулы будет:<{Ьр, Cq}- {p, q}- p, q} (p5q}}>

Проинтерпретируем «вторично» Lp как LLp, Cq, как CCq. Получим следующий огос степени 2 по данному огосу степени 1: «{LLp, CCq}- {Lp, Cq}- {p, q}- {{p, q}-{p, q}}>

Lp, Cq}- {p, q}- {{p, q}-{p, q}}> <{Lp, Lq}- {p, q}-gp, q}}> <{Lp, Cq}- {p, q}- {{p, q}-{p, q}}> <{Lp,-Mq}- {p, q}- {{p, q}}>

Пользуясь приведенными выше определениями, нетрудно установить, что формула:

L (Lp vLq) =э (LLp v LLq) является M-(hS4-) истинной в построенном огосе.

Ю.В. Ивлев отмечает, что можно построить множество бесконечных огосов для любого v конечного числа переменных и «высекать» из этих бесконечных огосов конечные огосы необходимой степени (см. [6/JW&?]).

Как нам кажется, здесь уместно следующее замечание. Система М, как известно, обладает бесконечным множеством несводимых модальностей, поэтому степень подогосов, «вплоть до которых» нужно вести рассмотрение при решении вопроса об общезначимости (выполнимости) некоторой формулы, ограничивается лишь степенью этой формулы. В системе же S4 данный анализ., помимо степени формулы 5ограничивается еще и наличием лишь 12-ти несводимых.