Логический анализ сложных суждений

Современная символическая (математическая) логика для анализа сложных высказываний и рассуждений использует процедуру формализации. Логическая формализация — это своеобразный перевод с обычного естественного языка на искусственный язык символов логики, в результате которого сложное суждение символически представляется в виде логической формулы. Простейшим искусственным языком, который используется в логике, является язык логики высказываний.

Алфавит языка логики высказываний содержит следующие три категории знаков.

1. Пропозициональные переменные (от лат. propositio — высказывание, предложение) — буквенные символы, обозначающие простые суждения, внутреннее строение которых мы игнорируем. В качестве пропозициональных переменных обычно используются строчные буквы середины латинского алфавита: р, q, г, s, t, р_1} q_l5 iq, s_l51₁… (нижние индексы позволяют получить большее число символов) или заглавные буквы начала латинского алфавита А, В, С, D…

Одна и та же буква обозначает одно и то же простое суждение, различные буквы — разные.

• 2. Шесть особых символов для обозначения логических связок
• («л» — конъюнкция, «V» — слабая дизъюнкция, «у» — сильная дизъюнкция, «—>» — импликация, «» — эквиваленция, «р» — отрицание).
• 3. Скобки, которые используются для группировки суждений и указания последовательности операций.

Процесс формализации можно разбить на несколько этапов.

• 1. Прежде всего, необходимо выделить все простые суждения.
• 2. Выделить логические связки, выраженные, как правило, союзами и знаками препинания.
• 3. Установить порядок и способ сочленения простых высказываний в сложное.
• 4. Представить сложное суждение в виде логической формулы на языке логики высказываний.

Поясним, как осуществляется процедура формализации на конкретных примерах.

Выразим на языке логики высказываний формулу сложного суждения «„Спартак“ выиграл у „Динамо“ 2:1; „Торпедо“ сыграло вничью с „Зенитом“ 1:1; встреча „Кубани“ с „Металлистом“ перенесена по техническим причинам».

Перед нами, конечно, трехчленная конъюнкция. Если обозначить каждое элементарное высказывание соответственно: р, q и г, то данный текст может быть представлен следующей логической формулой: р a q л г.

Еще один пример.

«Если „Спартак“ выиграет следующую игру, а „Зенит“ сыграет вничью или потерпит поражение, и „Торпедо“ потерпит поражение, то „Спартак“ выходит в финал. Но „Торпедо“ одержало победу. Следовательно, „Спартак“ в финал не вышел».

Сначала выделим простые высказывания, входящие в состав сложного (в нашем примере их семь) и введем буквенные обозначения.

• 1. «Спартак» выиграет следующую игру (р).
• 2. «Зенит» сыграет вничью (q).
• 3. «Зенит» потерпит поражение (г).
• 4. «Торпедо» потерпит поражение (s).
• 5. «Спартак» выходит в финал (t).
• 6. «Торпедо» одержало победу (s').
• 7. «Спартак» в финал не вышел (Г).

Далее выделим логические связки, с помощью которых простые высказывания соединяются в сложные: «если… то», «а», «или», «и», «но», «следовательно», «не».

Теперь необходимо выяснить, какой смысл выражает каждая логическая связка. В нашем случае союзу «если. То» по смыслу соответствует импликация (—>); союзу «а» — конъюнкция (л); союзу «или» — строгая дизъюнкция, так как обе части высказываний соединены союзом «или» в разделительном смысле (либо ничья, либо поражение) (у); союзу «но» соответствует конъюнкция (л), «следовательно» — импликация (—О, «не» — отрицание (s).

Наконец, необходимо установить порядок сочленения простых высказываний и расставить скобки. Приведенное умозаключение состоит из одного сложного и двух простых высказываний. Сложное высказывание представляет собой импликацию, в которой основанием является трехчленная конъюнкция (р) строгой дизъюнкции (qvr) и (s).

Заключение

м является t. Поэтому логическая формула, соответствующая первому сложному высказыванию в составе исходного имеет вид:

Далее следуют еще два простых высказывания. «„Торпедо“ одержало победу» 00 и «Команда „Спартак“ в финал не вышла» (Г). Причем последнее начинается со «следовательно», то есть является заключением из конъюнкции двух первых высказываний. Стало быть, данное рассуждение есть импликация:

В естественном языке простые высказывания могут сочленяться с помощью таких связок, которым не соответствует по смыслу никакой логический союз из формализованного языка логики высказываний. В этом случае необходимо переформулировать сложное высказывание таким образом, чтобы оно выражало то же самое утверждение, но содержало при этом такие союзы, которым соответствуют по смыслу какие-либо логические связки из алфавита.

Примером является высказывание «Ни белые, ни красные не победили в гражданской войне». Не изменяя содержания этого высказывания, его можно переформулировать так: «Неверно, что белые победили в гражданской войне, и неверно, что красные победили в гражданской войне». Логическая форма данного высказывания имеет вид: