Качественные и численные методы исследования математических моделей динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами

Диссертация посвящена исследованию и конструктивному нахождению непрерывных, в том числе почти периодических, решений математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями с непрерывными и почти периодическими коэффициентами и их некоторым приложениям. Исследование математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами представляет собой весьма сложную проблему. Но использование почти периодических коэффициентов, в описании модели, не является самоцелью. Известно, что важне-ейшим требованием к математической модели является требование адекватности (правильного соответствия) изучаемому реальному объекту относительно выбранной системы его свойств. Для достижения этого требования и вводятся почти периодические и квазипериодические функции, позволяющие осуществить правильное количественное описание свойств объекта с разумной степенью точности. Исследование математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами представляет собой далеко не завершенную проблему, поэтому и приобретают большую важность применяемые к указанным моделям методы их исследования. Общие принципы моделирования динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами пока не разработаны. Одним из важнейших методов исследования линейных дифференциальных моделей с почти периодическими коэффициентами является исследование приводимости по Ляпунову. Приводимость по Ляпунову позволяет выявить структуру фундаментальной матрицы решений исследуемой модели. Кроме того, в зависимости от выбора метода исследования, позволяет не только установить качественные характеристики выбранной модели, но и провести исследования других математических моделей с почти периодическими коэффициентами, в том числе и нелинейные многомерные математические модели.

Определение почти периодических функций и их общая теория изложены, например в [61,62].

Каждой почти периодической функции можно отнести ряд Фурье оо п-1 где Ап — коэффициенты Фурье, а Л&bdquo— показатели Фурье. т.

Если где 0)1,.0)п рационально независимы, то.

— 1 (х) называется квазипериодической или условнопериодической, а совокупность чисел о)=(й)., й) я) — называется частотным базисом или спектром частот квазипериодической функции.

Таким образом, квазипериодические функции можно рассматривать как частный случай почти периодических функций, спектр частот которых конечен.

Рассмотрим модель, описываемую системой линейных дифференциальных уравнений вида х=Р (ОХ, * (1) где Д0-{р, 7(0} переменная матрица порядка п. Модель (1) называют приводимой по Ляпунову, если существует неособенное преобразование.

Х = С (ОГ, (2) приводящее (1) в линейную модель вида.

У = ВУ где Впостоянная матрица.

Проблема приводимости по Ляпунову моделей вида (1) с почти периодическими коэффициентами впервые была поставлена в [42] Н. П. Еругиным.

Там же были высказаны необходимые и достаточные условия приводимости.

При этом следует отметить, что задача приводимости почти периодических моделей оказалась совсем нетривиальной. Более того, здесь, почти всегда гарантирован отрицательный ответ, если не наложить специальных требований на коэффициенты модели (1). Это связано, в основном, с незамкнутостью класса почти периодических функций с нулевым средним значением относительно операции интегрирования и появления так называемых «малых знаменателей».

При исследовании приводимости по Ляпунову линейных моделей вида (1) в [42.2)] была выявлена связь с приводимостью по Ляпунову и существованием ограниченного решения г модели Риккати вида.

Т = Г (р22 о)-Рп (0) — г2 рп (0+ Рп (0 .

Исследование решений скалярных, а тем более матричных моделей Риккати носит и самостоятельный интерес. В задачах математической и теоретической физики, теории управления, естественным образом возникают вопросы исследования решений нелинейных математических моделей, среди которых важное место занимает модель Риккати.

При этом весьма актуальной является проблема интегрирования нелинейных дифференциальных математических моделей.

Нелинейные модели с почти периодическими коэффициентами изучались многими учеными. Среди них следует выделить: а) исследования, в которых проблема малых знаменателей не возникала (см. работы [22,35,42,46,56,61,62] и их библиографии) б) нелинейные модели с малыми знаменателями.

Работы как первой, так и второй группы в литературе представлены достаточно полно.

Впервые проблема малых знаменателей возникла при исследовании решений в моделях, описываемых системами дифференциальных уравнений в знаменитых мемуарах Анри Пуанкаре по небесной механике.

Основные идеи, которые позволили в последующем получить положительные результаты, были выдвинуты К, Л. Зигелем и А. Н. Колмогоровым.

45,55]. Они состояли вопервых в том, что малые знаменатели для большинства (по мере Лебега) частот удовлетворяют некоторым оценкам, во-вторых, в отказе от обычных рядов по степеням малого параметра при построении решений, применение нового итерационного процесса, основанного на последовательной замене переменных и обладающего ускоренной сходимостью.

Исследования моделей с малыми знаменателями в духе идей, высказанных выше, получили развитие и в нашей стране, и за рубежом. В первую очередь это вызвано двумя аспектами проблемы малых знаменателей.

Первый аспект, сугубо практический, состоит в непосредственном исследовании реальных планетных и спутниковых систем, в которых наблюдаются резонансные соотношения. Цель этих исследований заключается в построении таких приближенных решений уравнений движения, которые удовлетворяют астрономовпрактиков. Для этого пришлось разрабатывать специальные методы, берущие своё начало в исследованиях Пуанкаре [83].

Поскольку «резонансные явления «встречаются не только в задачах небесной механики, но и строительной механике, в радиотехнике, физике, нелинейной механике, то вопрос о методах исследования малых знаменателей представляет большой интерес и далеко выходит за пределы какойлибо одной из выше названных наук.

К теоретическому аспекту проблемы малых знаменателей следует отнести: а) качественный анализ решений в математических моделях, описываемых дифференциальными уравнениями, при интегрировании которых появляются малые знаменатели. б) построение рядов, которые сходятся на неограниченном интервале времени.

К большому сожалению, оба аспекта проблемы далеки до завершения.

Остановимся на некоторых результатах, сыгравших важную роль в дальнейшем продвижении исследований.

Прежде всего отметим работы В. И. Арнольда [3]. Им были разработаны новые разновидности метода А. Н. Колмогорова и получены интересные результаты по теории гамильтоновых систем, относящиеся к так называемым вырожденным случаям.

Ю. Мозер [72] распространил методы и идеи А. Н. Колмогорова на случай моделей с дифференцируемыми конечное число раз (а не с аналитическими правыми частями). Ему удалось получить ряд результатов весьма общего характера при нахождении квазипериодических решений неканонических моделей.

Большой вклад в исследования малых знаменателей внесли работы H.H. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, А. Н. Самойленко [12−14], в которых рассматривались методы ускоренной сходимости в нелинейных моделях механики. К указанным исследованиям относится и работа [9]. В последнее время появился ряд учебников, монографий и обзоров, посвященный дальнейшему изучению данной проблемы [19,30−34,36,53,78,89−90,97,126,130 133].

Кратко остановимся на исследовании почти периодических решений модели Риккати.

Гельман в [27] вводит аппарат соответственно мажорантных рядов, который позволяет оценить коэффициенты ряда Фурье для квазипериодического решения скалярной модели Риккати i=a{j) + br +c (t)r2, (3) где, а (t), с (t) — квазипериодические функции, удовлетворяющие некоторым ограничениям, Ъпостоянная, Re Ъ ф 0 .

Адрианова [1] распространила этот аппарат на матрично-векторные модели Риккати с квазипериодическими коэффициентами, на которые наложены аналогичные [ 27 ] ограничения.

Если в модели (3) взять в качестве коэффициентов только нечётные функции, рассмотренные в [3.1)] Арнольдом, то метод уже соответственно мажорантных рядов уже не позволяет находить квазипериодические решения модели Риккати, так как сходимость соответствующих рядов доказать не удаётся.

В [11.1)] рассматривается математическая модель, описываемая нелинейным дифференциальным уравнением вида x + F (x, t) + f (q (t)) = 0, (4) где F (x, t) = Yjfk > / >fk~ нечётные квазипериодические функции из класса функций, рассмотренных в [3.1)], |/| - достаточно мала.

Существование бесконечного числа квазипериодических решений модели (4) удаётся получить с помощью обобщённого метода НьютонаКанторови-ча[11.1)]. Обобщение заключалось в применении идеи Колмогорова вложенных пространств.

Как известно, при интегрировании квазипериодических функций появляются малые знаменатели. В работах [1], [27] проблема малых знаменателей возникает на последнем шаге. В случае же работы [11.1)] на каждом из последовательных шагов возникает проблема неограниченности операторов.

Эту ситуацию, в отличие от ситуации в работах [ 1],[27] уместно назвать проблемой существенно малых знаменателей.

Для преодоления возникающих трудностей применяется метод последовательно вложенных метрических пространств с метрикой, зависящей от номера шага как параметра.

Применяя метод последовательно вложенных друг в друга пространств, удаётся сделать оператор ограниченном на каждом шаге и с растущей нормой в зависимости от номера шага.

Рассмотрим матрично-векторную модель Риккати вида:

P (X, q (0) =Х + Xg{q{t))X + f{q {t))X + / (q (t)) = 0, (5) где gr (q (t)), f (q (t)), l (q (t))~ матрицы, элементы которых нечётные квазипериодические функции, рассмотренные в [3.1)], Х — тмерный неизвестный вектор.

Применение метода Ньютона, в том виде как он применяется в [11.1)], не позволяет решить задачу отыскания квазипериодических решений модели (5), так как в этом случае предельное пространство перестаёт наследовать свойства итерируемых пространств.

В [2*] была предложена схема, обобщающая итерационный процесс Ньютона [11.1)], применение которой позволили получить квазипериодическое решение модели (5) при достаточно малой || /)) ||.

Особенностью итерационного процесса [2*] является сбегание индексов итерируемых пространств (малые знаменатели). Однако предельное пространство всё ещё содержит аналитические в полосе квазипериодические функции.

Кратко рассмотрим метод приближённого интегрирования матрично-векторной модели Риккати, предложенный в [2*]. Для этого записываем итерационный процесс Ньютона, состоящий из последовательности решений линейных операторных моделей порядка т:

4 ^ X, + Р'{Х, х) Х = Р (ХМ), /=1,2 .

Каждую операторную модель при помощи соответствующей подстановки сведём к модели, состоящей из линейного операторной модели порядка т-1 и линейной модели, коэффициенты которой зависят от квазипериодического решения матричной модели Риккати.

К полученной линейной операторной модели порядка т-1 вновь применяем соответствующую подстановку и т. д. Повторяя подстановку т раз, мы приходим к линейной треугольной модели, коэффициенты которой зависят от квазипериодических решений матричных моделей Риккати, размерность которых равна 1,2,т-1. Эту линейную модель можно проинтегрировать и тем самым констатировать существование [ Ь'1 т ]. При этом, на каждом итерационном шаге мы сталкиваемся с проблемой существенно малых знаменателей. Однако, применяя метод последовательно-вложенных пространств, удаётся доказать сходимость итерационного процесса к квазипериодическому решению матричной модели Риккати и существование предельного про.

Щ («) странства т аналитических в полосе векторов.

Используя полученные квазипериодические решения, можно доказать приводимость по Ляпунову модели с нечетными квазипериодическими коэффициентами.

X=AP (q (t))X, (6) где Лдостаточно малый параметр, Р (q (t)) — матрица порядка ту элементы которой — нечётные функции, введённые в [3. 1)].

Рассмотрим модель, описываемую уравнением вида:

Х=(Р0+ ЛРЦ))Х, (7) где Р (t) — квадратная матрица порядка т, элементы которой — квазипериодические функцииХ- вектор, размерности ш, Лмалый параметр.

Задача приводимости линейной дифференциальной модели (7) при различных предположениях рассматривалась в работах В. И. Арнольда [ 3],.

A.Е. Гельмана [27], Л. Я. Адриановой [1] И. Н. Блинова [11.1)], А. Д. Брюно [20], H.H. Боголюбова Ю. А. Митропольского, А. И. Самойленко [14,71],.

B.М.Миллионщикова [70] и других авторов.

В [3.1)] была сформулирована четвёртая проблема Арнольда. Рассмотрим модель, описываемую системой т линейных дифференциальных уравнений вида.

X=P (q (t))X, где q=(qi, q2q n) — вектор P (q + 2л) = P{q), P{q) — аналитическая матрицафункцияq: q = со = (u)l,., 0) n) и все О). — линейнонезависимые с рациональными коэффициентами) алгебраические числа. Всегда ли данная система приводима? В [3.2)] и [11.1)] сформулированы другие постановки четвёртой проблемы Арнольда.

А.Е. Гельман [27] для модели (1), где.

ДО = 1^(0 к= сходится равномерно при — оо < / < оо,.

00 р/> Y1 Т)(к) ?l (ffl|®,+.+m, fflJ чч- ¿-и". m1 ,.,/"" =1 где 5^- постоянные матрицы, убывающие достаточно быстро вместе с к, нашёл достаточные условия приводимости.

Он также показал, условия на частоты должны быть достаточно жёсткими: приводимость может нарушиться при сколь угодно малом изменении одной из частот G) j.

Л.Я. Адрианова[1] обобщила этот случай на модели порядка m >2. И. Н. Блинов [11.1)] доказал приводимость модели (6), коэффициенты которой нечётные квазипериодические функции, введённые в [3].

Методом ускоренной сходимости в [ 30,71.2) ] была доказана приводимость моделей вида (7), где собственные числа матрицы Р о имеют различные вещественные части, Р (t) — квазипериодическая матрицафункция.

Все, только что рассмотренные результаты, додержатся как частный случай работы [5*], где доказывается приводимость по Ляпунову, возможно исключая конечной число лучей, при достаточно малых значениях Л модели.

7).

Основной результат [5*] - существование квазипериодического решения, исключая, возможно, конечное число лучей матричной модели Риккати.

X + (4 + A{q{t)))X + Xf{q (t))X + M{q{t)) = 0, где, А о — постоянная диагональная матрица, элементы которой попарно различные мнимые числа, коэффициенты A, f, lматрицы, элементы которых функции, рассмотренные в [3.1)], Якомплексный параметр. Этот результат содержит в себе, как частный случай, результаты, полученные в работах [1, 27]. При его доказательстве используется итерационный процесс, предложенный в [2*]. Однако задача усложняется появлением, в оценке нормы,.

Л Г оператора интегрированиямножителя с / Я, где г — целое, спостоянная.

Это связано с тем, что после второго шага итерационного процесса, могут возникнуть средние вида: a-i? + ar Лг + о {Л2').

Однако, несмотря на эти трудности, удаётся доказать сходимость итерационного процесса к квазипериодическому решению.

С данным исследованием органически связана работа [4*], в которой доказывается существование квазипериодических решений нелинейной дифференциальной модели x + i? x + Y f — (q (t))xk + Af0(q (0) = 0, к=2 при всех достаточно малых Я, исключая возможно конечное число лучей.

Интерес к изучению моделей Риккати особенно усилился с возникновением теории управления, появлением в связи с этим принципиально новых математических задач, непосредственно связанных с дифференциальными моделями (задачи оптимального управления, задачи оценки параметров системы и ее состояния и т. д.). Их решения зачастую приводят к моделям Риккати и их многомерным аналогам. Поэтому весьма актуальной является задача нахождения приближенно-аналитических и численных решений моделей Риккати. Рассмотрим некоторые методы приближенно-аналитического и численного решения уравнения Риккати, которые имеют исключительно важное значение для задачи синтеза регулятора, а также для задачи оценки состояния.

Рассмотрим матричную модель РиккатиP{t)=Rx{t) -P{t) S (t) P (t) +AT (t) P (t) +P (t)A{t), P (T)= H (8) где S (t), Дг)-квадратныематрицы порядка", P (t) -искомая матрица.

Прямой метод решения основан на представлении уравнения в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка и применения численного метода интегрирования уравнений в обратном времени, начиная с момента t{. Наиболее простым методом численного интегрирования является метод Эйлера, по которому вычисляется матрица P{t) в моменты t-t, -Ai, t, -2А/,.. Если решение сходится к постоянной величине, то как это обычно бывает в случае системы с постоянными параметрами, то необходимо ввести условие остановки. Недостатком этого метода является то, что для обеспечения достаточной точности обычно требуется весьма малая величина Лг, приводящая к большому числу шагов. Кроме того, из-за ошибок вычислений нарушается симметрия матрицы, что можно устранить путем симметрирования после каждого шага, т. е. путем заменыP (t) на.

P (t)+ Р1 (t) ]. Симметрию матрицы/>(/) можно использовать, заменяя модель Риккати нелинейной дифференциальной моделью получая в результате существенную экономию машинного времени. Более детальный анализ метода прямого интегрирования можно найти в [23,105, 117−119] .

Метод прямого интегрирования применим к системам с переменными и постоянными параметрами. Если требуется найти лишь установившееся решение для задач с переменными параметрами, то более эффективными оказываются методы, рассмотренные в [106,120] .

Интегрирование матричной модели Риккати в реальном масштабе времени с начальным условием P (t 0) обычно приводит к неудовлетворительным результатам в силу неустойчивости решения, что вызывает возрастающие со временем ошибки вычислений.

Если необходимо получить полное решение уравнения Риккати с постоянными параметрами, то используется метод КалманаЭнглара [119].

Рассмотрим метод установившегося решения уравнения Риккати с постоянными параметрами, который существенно отличается от предыдущих методов. Метод основан на многократном решении линейного матричного уравнения вида.

0=Я^ + Ат Р+РА = 0, Которое рассматривалось в.

Установившееся решение Р уравнения Риккати должно удовлетворять алгебраическому уравнению Риккати.

0=Я1-Р8Р+АТ Р+РА-0,.

Рассмотрим матричную функцию р (Р)=Я,-РБР+ Ат Р+РА = О, Задача заключается в определении неотрицательно определенной матрицы Р, удовлетворяющей условию.

Р{Р)=0. ,.

Если начальная оценка выбрана некорректно, то может наблюдаться сходимость к произвольному решению алгебраической модели Риккати или вообще она может не достигаться. В работах[23,106,120] освещается опыт успешного использования метода Ньютона-Рафсона для решения уравнений Риккати в задачах с размерностью до 15.

Несмотря на обилие работ по нахождений численно-аналитических решений моделей Риккати (см. библиографию [23,41,43,104−106,117−120],) практическое нахождение решений наталкивается на массу трудноразрешимых проблем и разработка новых методов приближенного интегрирования и числннного решения матричных моделей Риккати становиться весьма актуальной задачей.

В [11.1)] была поставлена проблема: пусть имеется модель (6), где Р ($-нечётная почти периодическая матрица существенно отличающаяся от квазипериодической. Всегда ли такая модель приводима при достаточно малых.

Я?

Там же предпринимается попытка решения проблемы методом сколь угодно быстрой сходимости, накладывая на малые знаменатели при этом дополнительные условия. При этом высказано предположение, что решение этой задачи недоступно методу последовательных замен АрнольдаКолмогорова изза относительно медленной сходимости последнего. Это высказывание было опровергнуто в [93.2)], где был применён метод последовательных замен, но от дополнительных условий на малые знаменатели отказаться не удалось.

Приводимость моделей с бесконечным спектром частот, т. е. систем с почти периодическими коэффициентами, рассматривалась в [11.1), 11.6), 82,93]. Но во всех этих исследованиях на малые знаменатели, кроме рациональной несоизмеримости частот, накладывались дополнительные условия. И только при наличии дополнительных условий на малые знаменатели удалось получить положительные результаты.

В [6*, 7*] удалось решить проблему приводимости по Ляпунову моделей с бесконечным спектром частот, поставленную в [11.1)], впервые не накладывая дополнительные условия на малые знаменатели. При этом удалось доказать существование почти периодических решений дифференциальной матричной-векторной модели Риккати (5), коэффициенты которой существенно почти периодические функции.

Обойтись без дополнительных условий на «малые знаменатели стало возможным благодаря новой оценке нормы оператора интегрирования. Это позволило вновь применить обобщенный итерационный процесс Канторовича-Блинова, предложенный в [2*].

Таким образом, можно констатировать, что модель, описываемая системой дифференциальных уравнений.

Х = еР^, Л) Х приводима по Ляпунову при достаточно малых значениях е .

Как уже отмечалось в [3] была сформулирована четвёртая проблема Арнольда.

В [11.1)] построен пример неприводимой по Ляпунову модели с треугольной матрицей коэффициентов. Все последующие результаты ограничивались только треугольной матрицей коэффициентов.

В [4*] доказана приводимость по Ляпунову при всех достаточно малых X, возможно, исключая конечное число лучей, линейной модели.

Х = (Р&bdquo- + ЛР (1))Х, (9) где Р (^) — матрица, элементы которой принадлежат к классу функций, описанных в четвёртой проблеме Арнольда, Р ц = diag (р ?, р — постоянная диагональная матрица, элементы которой удовлетворяют условию :

Мр-р2]=0 М[рх-р 2] = Р > где р — алгебраическое число, несоизмеримое с базисом частот Р (I), Хмалый комплексный параметр.

В [11.6)] была сформулирована проблема Р. Э Винограда. Всегда ли на таких лучах сохраняется неприводимость?

В [3*] было показано, что на лучах модели с треугольной матрицей происходит чередование приводимости и неприводимости. Оказалось, что это явление имеет место и для моделей вида (9) [8*]. Тем самым можно дать ответ на вопрос, поставленный в [3]. ,.

Исследования приводимости по Ляпунову моделей с квазипериодическими коэффициентами кроме самостоятельного практического (решение инженерных задач) и теоретического интереса, находят важные приложения в смежных областях математики и физики. Так можно констатировать, что с середины 70-х годов наблюдается процесс интенсивного использования результатов по приводимости моделей (7) в задачах теоретической и математической физики. Интерес к этой проблеме особенно усилился в связи с изучением уравнения Кортевега де Фриза в работах С. П. Новикова, Б. А. Дубровина, В. Б, Матвеева [38,44] и других. Как было показано в исследованиях С. П. Новикова [79], важную роль в изучении периодической задачи Кортвега де Фриза играют свойства зон неустойчивости одномерного уравнения Шрёдингера с периодическим и квазипериодическим потенциалами. Их изучение удаётся провести, используя теорему приводимости Ляпунова. Для квазипериодической задачи КдФ приходится исследовать зоны неустойчивости моу дели (9) с квазипериодическим потенциалом и е с (т). Это удаётся сделать, опираясь на результаты по приводимости моделей (7) в области больших значений Е. Здесь интересны результаты, полученные в [38]. Возможность получения важных приложений побуждает продолжить изучение приводимости моделей (1.7).

Ю.А. Митропольский и A.M. Самойленко в [71] ставят задачу всестороннего исследования приводимости почти периодических моделей (7), т. е. систем с бесконечным спектром частот. К настоящему времени в этом направлении имеются отдельные результаты [11.1), 11.16), 82, 93,6*- 8*].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Граф взаимосвязи математических моделей типов 1−16 позволяет основные результаты диссертации упорядочить на четыре группы результатов .

Первая группа результатов. Обобщение метода Канторовича—Блинова исследования нелинейных матричных моделей типов 1,4,9,13,15,16. Модификация метода Канторовича-Блинова исследования нелинейных матричных моделей типов 4,5,12,13. Модификация и совершенствование стандартных численных методов интегрирования путем представления матричной модели Риккати в виде «систем нелинейных дифференциальных матричных уравнений первого порядка с использованием модификации метода Рунге—Кутта. Разработка приближенного метода решения модели типа 15 методом Ньютона-Канторовича. Модификация метода Калмана—Энглара и уточнение численного метода решения модели типа 15 методом Рунге—Кутта. Уточнение метода Ньютона-Канторовича определения установившегося решения модели типа 16.

Вторая группа результатов. Конструктивное доказательство существования кваз и периодических и почти периодических движений в моделях типов 1,4,5,9,12,13. Разработка конструктивных методов приближенного интегрирования моделей типов 1,4,5,9,12.13.

Третья группа результатов. Доказательство существования квазипериодических и почти периодических движений в математических моделях типов 2,6,10,14. Разработка приближенно-аналитических методов исследования моделей типов 2,6,10,14.

Четвертая группа результатов. Разработка нового подхода исследования приводимости по Ляпунову моделей типов 8, 11. Исследование приводимости по Ляпунову моделей типов 3, 7 к математическим моделям, описываемым линейными системами дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Разработка нового метода исследования приводимости по Ляпунову моделей типа 7 на исключительных лучах.

В заключении сформулируем некоторые перспективные направления исследований, выявленные как самостоятельные, при решении проблем связанных с темой диссертации. Решения этих проблем будут продолжением диссертационных исследований, выполненных автором, имеющим важное значение для решения физико — технических проблем, указанных в первой главе,.

В диссертации доказывается приводимость по Ляпунову математических моделей вида.

X = MP (t)X, (1*) где P (t) ~матрица, элементы которой нечетные квазипериодические функции из класса функций изученных в [3] и почтипериодические функции из класса функций рассмотренных в [11.3)] и математической модели.

X=(PQ+MP (t))X, (2') где P (t)~ почти периодические и квазипериодические матрицы, элементы которых, функции упомянутых классов, Р0- постоянная диагональная матрица, элементы которой попарно различные мнимые числа несоизмеримые с базисами частот Ф (рт), Н (рт) .Пространства Ф (рт), Н (рт) определены выше.

При доказательстве приводимости использовалась идея Еругина Н. П. о связи приводимости с наличием ограниченных решений соответствующих моделей Риккати [35].

В силу вышеуказанного, были получены матричные модели Риккати (2.26), (3.24), (4.20),(4.51) с почти периодическими и квазипериодическими коэффициентами.

В известной автору литературе, только в [1] рассматривалось матричная модель Риккати с квазипериодическими коэффициентами, при этом наличие квазипериодического решения уравнения Риккати удалось доказать методом соответственно — мажорантных рядов. Особенность этого метода заключается в том, что только один раз применяется операция интегрирования квазипериодических функций. Естественно трудности, возникающие при этом в связи с появлением малых знаменателей — «кажущиеся».

Применять метод соответственномажорантных рядов к полученным матричным моделям Риккати (2.26), (3.24), (4.20),(4.51) оказалось невозможным, так как не удается доказать сходимость соответствующих рядов. Для преодоления возникших, при этом, трудностей используется обобщения метода Канторовича-Блинова [11], которые рассмотрены в главах 2 и 3. Результаты этих обобщений отражены в работах [2*-5*]. Применяя, предложенный автором диссертации, метод приближенного интегрирования мат-рично-векторной модели Риккати, удается доказать существование почти-периодических решений изучаемых моделей. Полученные результаты позволяют доказать приводимость по Ляпунову линейных моделей (1) и (2).При этом, доказывая приводимость систем с бесконечным спектром частот, впервые, удается избежать наличия дополнительных условий на малые знаменатели, которые накладывались в работах [11,82,93] и решить полностью проблемы, сформулированные в [11].

Таким образом, предложенные автором диссертации, подходы к решению задачи приводимости, позволяют справиться с возникающими трудностями, преодоление которых, пока недоступно другим известным мето-дам.Автор диссертации надеется, что предложенные методы, можно использовать и при решении других задач с малыми знаменателями.

Приведем формулировки некоторых задач, нерешённых до настоящего времени, и решение которых представляло бы значительный научный интерес.

Проблема № 1. В главе 1 рассматривалась приводимость модели.

Х = ЛР (д (0)Х, где Р (я (О) е Ф {р], Л — малый параметр. Если бы удалось доказать приводимость модели (1), в которой отсутствует малый параметр.

До сих пор нет ни одного положительного результата по приводимости системы общего вида (1) (матрица Р (д (0)~ не треугольная) без малого параметра.

Проблема № 2. В главе 3 доказана приводимость модели типа 6.

X = (Р0 + ЛР{д{1)))Х при достаточно малых Л, возможно исключая конечное число лучей. Здесь Р о имеет попарно различные характеристические числа х < > такие что КеС/, — х г) = 0, 1 т (хх-%2) = Р ч. Р инесоизмеримо с базисом частот.

Но в случае кратных характеристических чисел, вопрос о приводимости модели (2) остаётся открытым, даже при наличии малого параметра. Проблема № 3. Распространить результат главы 4 на случай произвольной матрицы.

Проблема № 4. Обобщить на почти периодический случай результаты работы [3].

Проблема № 5. Имеются исследования о почти периодических решениях моделей с частными производными [48]. Но в этих исследованиях не возникает проблема «малых знаменателей «. Было бы интересно получить результат о существовании почти периодических решений динамических систем, описываемых, модельными дифференциальныим уравнениями с частными производными, в которых бы преодолевались трудности, вызванные появлением «малых знаменателей «.

Проблема № 6. Численное исследование моделей с малыми знаменателями вызывают серьезные затруднения. В этом направлении имеются единичные и разрозненные результаты [31,90,126]. Было бы очень интересно и в такой же мере полезно провести компьютерное исследование моделей типов 1,4,9,13.