Компьютерное моделирование визуальных образов из курса математического анализа: функции и множества одной переменной

Оглавление ВВЕДЕНИЕ

1. СОВЕРШЕННЫЕ НИГДЕ НЕ ПЛОТНЫЕ МНОЖЕСТВА НА ПРЯМОЙ

1.1 Множество Кантора

1.2 Задача 1

1.3 Задача 2

2. СОВЕРШЕННЫЕ НИГДЕ НЕ ПЛОТНЫЕ МНОЖЕСТВА НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Кладбище Серпинского

2.2 Гребенка Кантора

3. ФУНКЦИЯ КАНТОРА

4. ВСЮДУ НЕПРЕРЫВНАЯ, НО НИГДЕ НЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА

Введение

Сегодня математика занимает особое место в жизни человека, она следует за ним везде. С развитием новых технологий ее важность увеличилась в разы. Чтобы решать какие-либо проблемы в нашей жизни, мы часто применяем математические методы. Для этого нужно иметь хорошую базу — знание основных дисциплин, таких как математический анализ, алгебра и т. д. Однако не редко, в виду их сложности, материал усваивается тяжело, происходит неправильное восприятие, формируются стереотипы, которые ведут к заблуждениям и недопониманию.

И тут возникает вопрос, как решить эту проблему? Как донести информацию до учащихся в доступном и понятном виде так, чтобы это легко воспринималось, закладывалось в памяти и не вызывало ошибочных стереотипов?

Последнего можно добиться путем рассмотрения нетривиальных задач-контрпримеров, которые направлены на разрушение сформировавшихся у студента стереотипов. А если материал преподать еще и в интересном и интерактивном виде, то это запомнится на долго и будет лучше и практичнее как в плане подачи материала, так и в плане его восприятия, ведь всем известно, что большую часть информации мы получаем визуально.

Моим научным руководителем А. А. Никитиным был разработан спецкурс «Избранные главы математического анализа», который проводился в прошлом году на нашем курсе в качестве факультатива. Его цель — повышение математической культуры слушателей путем преодоления устоявшихся стереотипов. В нем особое внимание как раз, уделяется решению нестандартных задач, выходящих за пределы классической программы. Многие из них требуют понимания основных понятий фрактального счисления. Эта область мало освещена в большинстве программ высших учебных заведений, и почти не изучается в школах. В виду новизны, очень мало учебной литературы по и наглядных материалов по этому курсу, что вызывает трудности в преподавании этой дисциплины.

Исходя из этого, я поставила перед собой задачу — визуализировать некоторые примеры из курса «Избранные главы математического анализа», составить интерактивные модули, с помощью которых студент без особых сложностей сможет разобраться в особенности каждой конкретной задачи.

Идея визуализации сложных учебных понятий показалась нам очень перспективной и полезной, как для преподавателей, так и для студентов (школьников). В этом году на научно-исследовательском семинаре «Компьютерное моделирование непрерывных процессов» группа студентов и преподавателей факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ, в которую я так же вхожу, а также специалистов и экспертов МЛАВР, работала (и продолжает работать) над реализацией этой идеи в проекте www.visualmath.ru.

Проект включает в себя как техническую сторону — разработку мощной программной платформы, так и методическую — тематическое наполнение курсов на примере предмета математического анализа (создание библиотеки визуальных модулей и нужного материала). Так, преподаватель уже может конструировать текущее занятие, выбирая и вставляя нужные модули на полотно лекции, а затем запускать ее для демонстрации как презентацию. Студенты, слушающие данный курс, могут также получить авторизованный доступ в системе, соединиться с сервером через web-браузер на любом мобильном устройстве. При этом, демонстрация лекции в браузерах слушателей синхронизируется с состоянием лекции преподавателя. Еще одна из существенно важных возможностей заключается в том, что студенты могут интерактивно отвечать на вопросы преподавателя в режиме реального времени, которые предоставляются как закрытые тесты в рамках демонстрируемой лекции. После завершения опроса рассчитывается статистика ответов, происходит обсуждение полученных результатов. Всё это позволяет преподавателю наполнить свою лекцию яркими визуальными примерами, которые будут способствовать более глубокому пониманию материала. Текст, который возникает у студента перед глазами, будет способствовать экономии времени, которое можно потратить на блиц-вопросы во время лекции, а также в конце занятия для закрепления изложенного материала.

На данный момент по программной части проекта для создания визуализации как анимированных, так и статических математических учебных моделей изготовлены две уникальные библиотеки для разработчиков двумерной (Skeleton) и трёхмерной графики (Grafar) на JavaScript и серверная программная платформа, которая предоставляет широкий спектр функционала, как для преподавателей, так и для студентов. Мои программы написаны на библиотеке Skeleton, которая отлично подошла для выполнения поставленных мною задач.

1. Совершенные нигде не плотные множества на прямой

1.1 Множество Кантора Рассмотрим сегмент [0,1] и назовем его сегментом нулевого ранга .

Разделим его на три равные части и выбросим серединный интервал — .

Два оставшихся сегмента назовем сегментами первого ранга, а выброшенный интервал — смежным интервалом первого ранга. Далее так же продолжаем делить каждый из отрезков первого ранга и удалять из них средние интервалы (смежные сегменты второго ранга). Объединение отрезков второго ранга обозначим за. Продолжая процесс счетное число раз, мы получим на шаге n в качестве — объединение отрезков n-го ранга. Множество называется предканторовым множеством n-го ранга, а их счетное пересечение канторовым множеством.

Если посчитать суммарную длину выброшенных интервалов, то получится 1. Тогда выходит, что мы выбросили практически все тоски сегмента [0,1]. Остается ли что-то в множестве? Очевидно, что все концы смежных интервалов остаются во множестве. Назовем их точками множества Кантора первого рода, они образуют счетное множество (было доказано на семинаре). Легко заметить, что ему принадлежит, например, точка, так как сегмент любого ранга, которому она принадлежит, она делит в соотношении 1:3.

Множество Кантора обладает следующими свойствами:

ь оно замкнуто Объединение счетного числа открытых множеств (смежных интервалов) открыто, а дополнение открытому множеству — замкнуто.;

ь не содержит изолированных точек любой окрестности точки а множества Кантора, найдется хотя бы одна точка из, отличная от а.;

ь представляет собой пример совершенного множества Замкнуто и не содержит изолированных точек (каждая точка является предельной). на прямой;

ь оно сепаратабельное Существует не более чем счетное множество, всюду плотное в .;

ь нигде не плотное Множество A — нигде не плотно в пространстве R, если любое открытое множество этого пространства содержит другое открытое множество, целиком свободное от точек множества A. на прямой ;

ь каждая его точка является точкой конденсации Точка, в любой окрестности которой содержится несчетное множество точек данного множества.

Все перечисленные свойства были доказаны в рамках курса «Избранные главы математического анализа».

1.2 Задача 1

Исследовать на непрерывность функцию, заданную на отрезке [0,1] следующими равенствами:

1. при ;

2. в середине смежного интервала;

3. Для точек смежного интервала (поэтому, ,) функция определяется как линейная на и на .

Решение. На первый взгляд рассматриваемая функция является непрерывной, кажется, что мы просто «строим линейные крышки», «затыкая» промежутки в множестве Кантора. Левая картинка только усиливает эту мысль, но правая дает понять, что это не так.

Действительно, на смежных интервалах функция непрерывна. Поэтому остается исследовать ее на пределы в точках множества Кантора. Любу. Точку множества Кантора можно получить как предел точек множества Кантора (т.к. в любой окрестности их нечетное число), так и как предел середин смежных интервалов (т.к. в любой окрестности найдется смежный интервал). Далее, так как предел по точкам из множества Кантора равен нулю, а по серединам смежных интервалов — единице, то получаем, что в точках множества кантора функция терпит разрыв.

Отметим однако, что в точках множества кантора первого рода (за исключением точек 1 и 0) со стороны смежного интервала предел функции существует и равен 0. Поэтому мы можем только говорить об односторонней непрерывности в данных точках.

1.3 Задача 2

Существует ли непрерывная функция, которая «пересекает ось абсцисс» несчетное число раз?

Функция непрерывна. Будем говорить, что функция «пересекает ось абсцисс» в точке x, если выполнено:

1. f (x)=0;

2. в любой окрестности точки x найдутся точки y и z такие, что f(y)<0, f (z)>0

Решение. Да, существует. Проведем построение графика искомой функции f(x) на счетное число шагов. На нулевом шаге кладем f (x) = 0 при всех. На первом шаге построим нижнюю полуокружность на смежном интервале первого ранга, как на диаметре. На втором шаге построим верхние полуокружности на двух смежных интервалах второго ранга, как на диаметрах. На третьем шаге построим нижние полуокружности на четырёх смежных интервалах третьего ранга, и т. д., на (2n-1)-ом шаге строим нижние, а на 2n-ом шаге верхние полуокружности на смежных интервалах (2n-1) —го и 2n-го рангов, соответственно, и т. д. счётное число раз.

Построенная функция f (x) обращается в нуль в континууме точек множества. И, сколь угодно близко от точки из найдутся смежные интервалы (2n-1) —го и 2n-го рангов, на которых и соответственно.

2. Совершенные нигде не плотные множества на плоскости Будем говорить, что множество на плоскости нигде не плотно в метрическом пространстве R, если любой открытый круг этого пространства содержит другой открытый круг, целиком свободный от точек данного множества.

2.1 Кладбище Серпинского Построим на плоскости интересное множество В следующим образом: разделим, квадрат прямыми на 9 равных квадратов и выбросим их них пять открытых, не примыкающих к вершинам исходного квадрата. Затем, каждый из оставшихся квадратов также разделим на 9 частей, и выбросим пять из них, и т. д. Множество, оставшееся после счётного числа шагов, обозначим B и назовём кладбище Серпинского. Вычислим площадь выброшенных квадратов:

Кладбище Серпинского является совершенным и нигде не плотным множеством.

Заметим фрактальную структуру множества.

2.2 Гребенка Кантора Назовём Канторовой гребёнкой множество D на плоскости Oxy, состоящее из всех точек, координаты которых удовлетворяют следующим условиям:, где — множество Кантора на оси Oy. Канторова гребёнка является совершенным нигде не плотным множеством на плоскости. Множество D состоит из всех точек исходного единичного квадрата, абсциссы которых произвольны, а ординаты могут быть записаны в виде троичной дроби, не содержащей единицы среди своих троичных знаков.

Можно ли множества B (кладбище Серпинского) и D (гребёнка Кантора) выразить через множество Кантора с помощью действий дополнения до отрезка [0, 1] и декартова произведения? Очевидно, что множества B и D выражаются элементарно:

B = x

D = [0, 1] x

3. Функция Кантора Можно ли отобразить непрерывно некоторое нигде не плотное на сегменте [0,1] множество на сам этот отрезок?

Да, возьмём нигде не плотноe множество Кантора. На первом шаге построения положим в точках смежного интервала первого рода значение функции равное 0,5. На втором шаге каждому смежному интервалу второго рода положим значение функции соответственно 0.25 и 0.75. Т. е. мы как бы делим каждый отрезок на оси Oy пополам (yi) и ставим в соответствующем смежном интервале значение функции равное значению yi.

В результате мы получили неубывающую функцию (было доказано в рамках курса «Избранные главы математического анализа»), определённую на отрезке [0, 1] и постоянную в некоторой окрестности каждой точки из множества [0, 1]. Построенная функция называется функцией Кантора (канторова функция), а её график, приведённый ниже — ''чёртовой лестницей''.

Обратите внимание на фрактальную структуру функции:

Функция удовлетворяет следующему неравенству:

Функция Кантора является непрерывной на отрезке [0, 1]. Она не убывает на [0, 1] и множество её значений составляет весь отрезок [0, 1]. Поэтому, функция не имеет скачков. А т.к. монотонная функция не может иметь других точек разрыва, кроме скачков (см. критерий непрерывности монотонных функций), то она является непрерывной.

Любопытным является наблюдение, что график непрерывной функции кантора невозможно нарисовать ''не отрывая карандаша от бумаги''.

4. Всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция множество кантор серпинский функция Построим вспомогательную функцию на отрезке [0, 1] по шагам. На нулевом шаге зададим две точки:

и .

Далее зафиксируем параметр. На первом и последующем шагах будем задавать точки по следующему правилу: для каждых двух соседних по оси абсцисс ранее построенных точек и мы будем строить две новые точки и центрально-симметрично относительно центра прямоугольника, задаваемого точками и с коэффициентом k. То есть, на первом шаге задаются две новые точки:

и, и т. д.

На (m+1)-ом шаге в дополнении к ранее построенным точкам с абсциссами

строятся по две точки во всех промежутках по оси абсцисс между соседними уже построенными точками. Это построение выполняется так: промежутки по оси абсцисс между соседними точками (прямоугольники со сторонами a и b) делятся на 3 равные части каждый. Затем две новые точки строятся по одной из нижеприведённых схем:

В зависимости от того, какая из соседних точек или выше, используем левую или правую схему. На первом шаге, как это было показано выше, принимаем a = b = 1.

Повторяем построение счётное число раз при m = 1, 2, 3, …. В результате нами будет получен фрактал, который будет подобен, с точностью до некоторого аффинного преобразования (растяжение, сжатие, поворот) любой своей части, заключенной в каждой полосе:

;

В результате построения фрактала получим функцию, определённую на множестве точек

; (*)

которое всюду плотно на отрезке [0, 1].

Какими свойствами обладает построенная функция?

· в каждой точке вида (*) либо строгий максимум, либо строгий минимум, т. е. функция g(x) нигде не монотонная, и имеет плотные на сегменте [0, 1] множества точек строгих экстремумов;

· функция g (x) непрерывна, и даже равномерно непрерывна на множестве точек (*);

· построенная непрерывная на сегменте [0, 1] функция не имеет ни в одной точке данного отрезка даже односторонних производных;

Вышеуказанные свойства были доказаны в рамках курса «Избранные главы математического анализа».

В рассмотренном примере мы полагали параметр. Изменяя значение данного параметра, можно получить семейства функций со своими особыми свойствами.

·. Эти функции непрерывны и строго монотонно возрастающие. Имеют нулевые и бесконечные производные (соответственно, точки перегиба) на множествах точек, всюду плотных на сегменте [0, 1].

·. Получена линейная функция y = x

·. Свойства семейства функций те же, что и при значениях к из первого диапазона .

·. Нами получена функция Кантора, которая была подробно изучена нами ранее.

·. Данные функции непрерывны, нигде не монотонны, имеют строгие минимумы и максимумы, нулевые и бесконечные (обоих знаков) односторонние производные на множествах точек, всюду плотных на сегменте [0, 1].

·. Данная функция была изучена нами выше.

·. Функции из этого диапазона обладают теми же свойствами, что и функция при .

Заключение

В своей работе я реализовала некоторые примеры из курса «Избранные главы математического анализа». В данную работу были вставлены скриншоты визуализированных мною программ. На деле они все интерактивные, студент может посмотреть вид функции на конкретном шаге, строить их сам итерационно и приближать масштаб. Алгоритмы построения, а также некоторые функции библиотеки Skeleton были специально подобраны и усовершенствованы под данный тип задач (рассматривались в основном фракталы).

Данный материал, несомненно будет полезен преподавателям и учащимся и является хорошим сопровождением лекций курса «Избранные главы математического анализа». Интерактивность данных визуализаций помогает лучше понять природу построенных множеств и облегчают процесс восприятия материала учащимися.

Описанные программы вошли в библиотеку визуальных модулей проекта www.visualmath.ru, например, вот уже рассмотренная нами функция Кантора:

В дальнейшем предполагается расширять список визуализируемых задач и улучшать алгоритмы построения для более эффективной работы программ. Работа в проекте www.visualmath.ru, несомненно, принесла много пользы и опыта, навыки работы в команде, умение оценивать и максимально понятно преподносить учебный материал.

1. Б. Гелбаум, Дж Олмстед, Контрпримеры в анализе. М.: Мир.1967.

2. Б. М. Макаров и др. Избранные задачи по вещественному анализу. Невский диалект, 2004.

3. Б.Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. Институт компьютерных исследований, 2002.

4. Ю. С. Очан, Сборник задач и теорем по ТФДП. М.: Просвещение. 1963.

5. В. М. Шибинский Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. М.: Высшая школа, 2007.

6. Р. М. Кроновер, Фракталы и хаос в динамических системах, М.:Постмаркет, 2000.

7. А. А. Никитин, Избранные главы математического анализа // Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, 2011 / ред. С. А. Ложкин. М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ им. М. В. Ломоносова, 2011. С. 71−73.

8. Р. М. Кроновер, Фракталы и хаос в динамических системах, М.:Постмаркет, 2000.

9. Фрактал и построение всюду непрерывной, но нигде недифференцируемой функции // XVI международные Ломоносовские чтения: Сборник научных трудов. — Архангельск: Поморский госуниверситет, 2004. С.266−273.