Проблема окаймления для дифференциальных базисов и смежные вопросы

Актуальность темы

В диссертации изучается ряд задач теории дифференцирования интегралов и некоторые вопросы теории симметричных пространств измеримых функций.

Истоком теории дифференцированя интегралов является хорошо известная теорема Лебега 1910 г. о том, что для произвольной последовательности стягивающихся шаров Bit, г к) и почти всех точек из области определения локально интегрируемой функции x (t) справедливо равенство.

Тот факт, что рассматривается предел средних значений по евклидовым шарам, а не по стягивающимся к точке t множествам какого-нибудь другого вида, на первый взгляд может показаться несущественным. Однако в 1927 году было показано, что с точки зрения дифференцирования, прямоугольники из R2, со сторонами параллельными осям координат, ведут себя намного хуже, чем круги на плоскости. В результате возникла такая проблема: останется ли справедливой теорема Лебега если в ней евклидовы шары заменить на множества другой природы? Несмотря на то, что прошло почти столетие после появления работы Лебега, в теории дифференцирования интегралов остается много нерешенных проблем.

Это связано с тем, что в этой теории тесно переплетаются трудные вопросы геометрии множеств, на которые заменяют шары в теореме Лебега, геометрии функциональных пространств, из которых берутся функции, стоящие под знаком интеграла, вопросы теории максимальных операторов и т. д.

В настоящее время для теории дифференцирования интегралов основными задачами является следующие.

1. Пусть В — некоторый дифференциальный базис. Требуется определить его свойства, т. е. найти пространства (семейства пространств) функций, интегралы от которых данный базис дифференцирует, а которые нет.

2. Пусть X, Y — два различных в каком либо смысле пространства (семейства пространств) локально интегрируемых функций. Можно ли эти два пространства различить с помощью дифференциальных базисов, т. е. существует ли дифференциальный базис, который дифференцирует все интегралы от функций из X, но найдется хотя бы одна функция из У, интеграл от которой данный базис не дифференцирует.

В работе рассматривается круг вопросов, связанных со второй из вышеуказанных задач.

Цель работы. Построение специальных дифференциальных базисов, позволяющих различать симметричные пространства и их наборы. Исследование свойств дифференциальных базисов с помощью максимальных операторов в специальных случаях. Изучение внутренней структуры симметричных пространств.

Методика исследования. Для исследования дифференциальных базисов и их максимальных операторов в работе используются методы теории симметричных пространств [21], [24] и теории дифференцирования интегралов [1]. При рассмотрении свойств симметричных пространств используются как специфические методы теории симметричных пространств [21], так и стандартные методы функционального анализа [22].

Научная новизна. Основные результаты работы можно резюмировать следующим образом.

1. Пусть заданы пространство Лоренца А (^>) и пространство Орлича Lh, у которых фундаментальные функции совпадают или эквивалентны. Строится дифференциальный базис, который дифференцирует А (<�р), но не дифференцирует Lh.

2. Построен пример дифференциального базиса дающий отрицательное решение проблемы окаймления из теории дифференцирования интегралов.

3. Предложена конструкция идеального банахова пространства «типа Лоренца», построенного по набору функций из S (T, Е, у). Данное пространство обладает рядом свойств, характерных для пространств Лоренца.

4. Рассмотрена задача различения двух симметричных пространств с одинаковой фундаментальной функцией. Введена новая характеристика для симметричных пространств с одинаковой фундаментальной функцией.

Теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории дифференцирования интегралов дифференциальными базисами, теории симметричных пространств интегрируемых функций.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Казанской международной летней школе-конференции (2001 г.), международной молодежной научной школе-конференции (Казань, 2001 г.), II международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» (Новороссийск, 2002 г.), семинаре по теории функций действительного переменного под руководством профессора В. А. Скворцова (МГУ им. М. В. Ломоносова, 2001 г.), «большом» семинаре по теории функций и функциональному анализу под руководством чл.-кор. П. Л. Ульянова и Б. С. Кашина (МГУ им. М. В. Ломоносова, 2002 г.).

Публикации. Результаты работы опубликованы в работах [26], [27], [28].

Структура диссертации. Диссертация содержит 84 страницы, состоит из введения, двух глав, разбитых на 5 параграфов, и списка литературы из 28 наименований.

1. Гусман М. Дифференцирование интегралов в Rn. Москва: Мир, 1978.2. de Gusman М. Real Variable Methods in Fourier Analysis. V. 46. Amsterdam: North-Holland Math. Stud., 1981.

2. Stokolos A. M. On the differentiation of integrals of functions from ЬФ (Ь) // Studia Math. 1988. V. 88. P. 103−120.

3. Stokolos A. M. On the differentiation of integrals of functions from Orlicz classes // Studia Math. 1989. V. 94. P. 35−50.

4. Бережной E. И. О дифференцировании интегралов от функций из симметричных пространств дифференциальными базисами // Analysis Mathematica. 1996. V. 22. P. 267−288.

5. Бережной Е. И., Перфильев А. А. Различение симметричных пространств и L°° с помощью дифференциального базиса // Матем. заметки. 2001. Т. 68. Вып. 3.

6. Бережной Е. И., Перфильев А. А. Точная теорема экстраполяции для операторов // Функциональный анализ и его приложения, 2000. Т. 34. Вып. 3. С. 66−68.

7. Перфильев А. А. Дифференциальные базисы со специальными свойствами. Диссертация на соискание уч.ст. к. ф-м.н. Ярославль, 2000. 101 с.

8. Lebesgue A. Sur l’integration des fonctions discontinues // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1910. V. 27. P. 361−450.

9. Jessen В., Marzinkiewicz J., Zygmund A. Note on the differentiality of multiple integrals // Fund. Math. 1935. V. 25. P. 217−234.

10. Zygmund A. A note on the differentialility of multiple integrals // Collog. Math. 1967. V. 16. P. 199−204.

11. Zygmund A. On the the differentiality of multiple integrals. // Fund. Math. 1934. V. 23 P. 143−149. Канторович JI.В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

12. Saks S. On the strong derivatives of functions of integrals // Fund. Math. 1935. V. 25. P. 235−252.

13. Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.

14. Sjogren P., Sjolin P. Littlewood-Paley decomposition and Fourier multipliers with singularities on certains sets. // Ann. Ins. Fourier (Grenoble). 1981. V.31. P. 157−175.

15. Stromberg J.O. Maximal functions associated to rectangles with uniformly distributed directions. // Ann. Math. 1978. V. 107. N 2, P.309−402.

16. Stromberg J.O. Weak estimates on maximal functions with rectangles in certain directions. // Ark. Math. 1977. V. 15. P.229−240.

17. Стоколос A.M. О дифференцировании интегралов базисами, не обладающими свойством плотности. // матем. сборник. 1996. Т. 187. 7 С.113−139.

18. Стоколос A.M. К одной проблеме А.Зигмунда. // Матем. заметки. 1998. Т. 64. Вып. 5. С.749−762.

19. Melero В. A negative result in differentiation theory j j Studia Math. 1982. V. 72. P. 173−182.

20. Крейн С. Г., Петунии Ю. И. и Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. Москва: Наука, 1977.

21. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1977.

22. Kufner A., John О., Fucik S. Function Spaces. Prague, 1977.

23. Lindenstrauss J. and Tzafriri L. Classical Banach spaces. I, II. Berlin: Springer, 1979.

24. Бережной E. И. Дифференциальные свойства базисов и проблема окаймления для симметричных пространств // Сиб. матем. журн. 1995. Т. 36. No. 6. С. 1234 1250.

25. Новиков А. В. Дифференциальные базисы, различающие пространства Лоренца и Лебега // Труды Мат. центра им. Н. И. Лобачевского, т. 12, 2001, С. 49 50.

26. Бережной Е. И., Новиков А. В. О проблеме окаймления из теории дифференцирования интегралов. // Изв. РАН, Серия Математическая, т.66, N 4, 2002, С. 3 26.

27. Новиков А. В. Конструкция идеального пространства типа Лоренца. // X Международная конференция «Математика. Экономика. Образование». II международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения» Тезисы докл. Ростов-на-Дону, 2002. С. 101 102.