Элементы математической статистики проверка статистических гипотез

Альтернативная гипотеза будет заключаться в том, что основнаягипотеза H0отвергается. Для нормального закона распределения вероятность p (iX i) попадания значений Xна интервал (ii) вычисляется по формулеp (iX i) = Ф, (1)где.

Ф (x)=- функция Лапласа, a = M (x) — математическое ожидание случайной величины;σ = σ(x) — ее среднее квадратическое отклонение; (ii) — рассматриваемые интервалы. Имеются таблицы значений функции.

Ф (x) для значенийx: 0≤.x≤ 5. Для значенийx>5 полагают Ф (x) = 0,5. Для отрицательных значений используют свойство нечетности функции Лапласа: Ф (-x) = - Ф (x).Для выборки B приa ≈ = 8,92, σ≈S = 6,24 формула (1) примет вид: p (iX i) = Ф. (2)Вычисления теоретических вероятностей удобно разместить в виде расчетной таблице (табл. 5), понимая в ней под xiконцы рассматриваемых промежутков. Таблица 5.

ixi1−0,52−6-2,390- 0,49 130,0087}0,5 373−1,16−1,614- 0,44 630,04543,69−0,838- 0,29 950,146858,53−0,062- 0,2 390,2756613,370,7140,26 110,285718,221,4900,43 190,1708823,062,2660,48 810,0562}0,681 927,93,0420,498 650,01055100,50,135Σ—-1С целью уменьшения объёма вычислений в таблице 5 в начале и конце её объединяются интервалы, которым соответствуют малые (<0,1) вероятности. В соответствии с этими преобразованиями объединяются интервалы (табл. 6) и суммируются относительные частоты из таблицы 2. Таблица 6. i12345I (-; −1,16)[−1,16;3,69)[3,69;8,53)[8,53;13,37)[13,37;(+)wi0,060,130,280,310,22pi0,050,150,280,290,23Сравнение значений относительных частотwi и теоретических вероятностей pi, показывает, что они незначительно отличаются: pi≈wi.Для проверки гипотезы о нормальном распределенииH0 генеральной совокупности (о согласовании статистического и теоретического распределений) вычисляют статистику: χ2набл = .Для удобства составляется таблица (табл. 7).Таблица 7. piwipi — wi (pi — wi)2(pi — wi)2/pi0,050,06−0,011E-040,0020,150,130,020,40,00270,280,280 000,290,31−0,020,40,00140,230,220,010,10,00041—-0,0065.

Находимχ2набл = 100∙0,0065= 0,65.Нормальный закон распределения зависит от двух параметровa и σ, поэтомуr =2. Для выборки B число интервалов l= 5. Число степеней свободыраспределения Пирсонаk = l — r — 1 = 5−2-1 = 2. Из таблицы (прил. 3) распределения Пирсона при и уровне значимости α = 0,05 находим χ2кр = 5,99.В результате сравнения значений χ2набл = 0,65и χ2кр = 5,99, видно, что. χ 2набл< χ2кр.

Это дает основания принять гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности или сделать вывод о том, что при уровне значимости α = 0,05теоретические исследования не противоречат опытным данным. Уровень значимости α = 0,05означает, что лишь в пяти случаях из 100 имеется риск отвергнуть правильную гипотезу. Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание a сдоверительной вероятностью γ, имеет вид, где — выборочная средняя, S — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, n — объем выборки, tλ - величина, определяемая из таблицы (прил. 4) по доверительной вероятности γ и объему выборки n. ДлявыборкиB имеем: = 8,92,S =6,24, n = 100, γ = 0,95(т.к.α=0,05, α= 1-γ), tλ = 1,984.Тогда = ≈ 1,24, следовательно, доверительный интервал (8,92−1,24; 8,92+1,24) или (7,68; 10,16).Таким образом, с надёжностью (доверительной вероятностью) можно утверждать, что истинное значение измеряемой величины заключено в доверительном интервале7,68a 10,16.ЗАДАНИЕ 347. а) Что собой представляют графическое изображение вариационных рядов? б) Что называют графиком плотности нормального распределения? в) Какие возникают задачи при выявлении характера распределения генеральной совокупности? Ответы:

а) При графическом изображении вариационного ряда в статистике используется полигон распределения, гистограмма и кумулята.

б) График плотности распределения вероятности нормального закона называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

в) При выявлении характера распределения генеральной совокупности возникают следующие задачи:

оценка параметров распределения генеральной совокупности на основе выборочных данных (вычисление математического ожидания, среднего квадратического отклонения), — нахождения функции распределения, — построение графического изображения распределения, — выдвижение гипотезы о законе распределения, — проверка этой гипотезы с использованием статистических критериев. ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:

Баврин И. И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник/И.И. Баврин. − М.: Высш. шк., 2005. −.

160 с. Боровков А. А. Математическая статистика. − Новосибирск: Наука; Издательство ин-ститута математики, 1997. − 772 с. Боровков А. А. Математическая статистика. −.

Учебник. − М.: Наука. Главная редакция физико-математическрй литературы, 1984. − 472 с. Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей.

Математическая статистика. − 2-е изд. − М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

− 296 с. Вуколов Э. А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL.: учебное пособие.

− 2-е изд., испр. и доп. − М.: ФОРУМ, 2008. −.

464 с. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб.

пособие для студентов вузов/ В. Е. Гмурман. − 9-е изд., стер. − М.: Высш. шк., 2004.

− 404 с. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.

пособие для вузов/В.Е. Гмурман. − 9-е изд., стер. − М.: Высш. шк., 2003. − 479 с.