Уравнения прогноза относительного движения двух ЛА, каждый из которых движется по эллиптической орбите

До сих пор, говоря об относительном движении двух ЛА, мы полагали, что орбита одного из них является круговой. Можно ли использовать полученные результаты для описания относительного движения двух ЛА, каждый из которых движется по эллиптической орбите? Оказывается можно, и эта возможность предоставляется нам благодаря тому, что мы рассмотрели относительное движение в линейном приближении. Действительно, пусть два ЛА движутся по эллиптическим орбитам и пусть для обоих ЛА можно указать такое фиктивное опорное круговое движение и такую связанную с ним орбитальную систему координат, что будут выполняться все необходимые условия для решения задачи в линейном приближении, т. е. соответствующие отклонения координат обоих ЛА от начала системы отсчета будут достаточно малы (это одновременно означает и малость рассогласований координат самих ЛА). Для каждого ЛА мы вправе записать уравнение прогноза:

где — матрица прогноза, элементы которой являются функциями времени прогноза и угловой скорости опорного движения; - векторы состояния относительных движений летательных аппаратов в начальный момент времени; - векторы состояния относительных движений летательных аппаратов в конечный момент времени. Из разности этих уравнений нетрудно получить где — векторы состояния движения первого ЛА относительно второго соответственно в начальный и конечный моменты времени.

Естественно, что при указанном относительном движении невозможно установить простую связь между параметрами относительного движения и кеплеровыми элементами, поскольку и е в этом случае характеризуют возмущение не круговой, а эллиптической орбиты.

Завершая описание линейной теории относительного движения, остановимся на свойствах матрицы прогноза, уравнения (2.18). Запишем это уравнение в виде.

Где векторы состояния относительного движения соответственно в начальный момент и конечный момент — матрица, осуществляющая прогноз вектора состояния на временной интервал.

Получим вектор состояния в момент иным образом, осуществив сначала прогноз на промежуточный момент и продолжив его затем до момента :

Таким образом, результирующая матрица прогноза на временной интервал есть результат произведения матриц прогноза при осуществлении прогноза последовательно на интервал и затем на интервал Этот вывод можно обобщить следующим образом:

До сих пор рассматривался прогноз вектора состояния относительного движения на некоторый момент в будущем, но, очевидно, прогноз может быть осуществлен и на заданный момент в прошлом — для этого достаточно определить элементы матрицы прогноза для отрицательного временного интервала. При этом.

При решении ряда задач может оказаться более удобным рассматривать относительное движение в какой-либо системе координат, отличающейся от использованных нами орбитальных вращающихся систем (ОСК или ЦСК). Если преобразование вектора состояния R при переходе к новой системе координат является линейным и задается постоянной матрицей А, то легко получить матрицу прогноза относительного движения в новой системе координат:

В качестве примера подобного преобразования укажем на преобразование «замораживания» вектора состояния, заданного в ОСК. В результате такого преобразования мы приходим к ОСКЗ (ОСК «замороженная»), оси которой в любой момент времени совпадают с осями ОСК и вместе с тем в каждый текущий момент неподвижны относительно инерциального пространства. Матрицу А этого преобразования можно представить в блочном виде.

а результат преобразования вектора состояния R, заданного в ОСК, — в виде.

Исходя из характера преобразования, можно сказать, что вектор состояния r есть результат проектирования разности абсолютных векторов состояния возмущенного и опорного движений на оси ОСК.

Матрица прогноза полученная по формуле дает следующий аналог решения (2.6) для ОСКЗ: