Численное моделирование решений

Рассмотрим задачу (3)-(6):

I (t) + м (t)) dt> min (3).

(4).

I (0)=, S (0)=, D (0)=, (5).

0?м (t)? (6).

• 1. Задаем систему для S (t), I (t), и начинаем решать с правого конца при t = T. Нужно задать условие на правом конце. В силу условий трансверсальности, а ограничения для фазовых переменных S (T), I (T) мы задаем произвольным образом.
• 2. В силу леммы 5 на заключительном интервале, управление равно 0. 3. Вычисляем фазовые и сопряженные переменные.
• 4. Зная их вычисляем функцию переключения G (t).

5. Определяем ближайший слева к T момент переключения, в котором G (t)=0. В этот момент управление переключается с нуля на либо на. Попробуем найти траекторию, которая не содержит особых управлений.

• 6. Решаем систему дифференциальных уравнений с управлением. В качестве краевых условий берем значения фазовых переменных в точке переключения в первой системе.
• 7. Опять вычисляем ближайший момент к, в котором функция G (t) обращается в ноль.
• 8. Продолжаем действовать по аналогии до тех пор, пока не получим решение на всем отрезке. Если начальные условия фазовых переменных выполнены, то получаем решение, удовлетворяющее необходимым условиям оптимальности. Если начальные условия не выполнены для фазовых переменных, то изменяем краевые условия для фазовых переменных в момент времени T на первом этапе.

Пример 1. Рассмотрим задачу распространения сетевой эпидемии. Начнем решать задачу оптимального управления с правого конца.

Построим решения данной системы:

Рис. 1. График функции S

Рис. 2. График функции I

Рис. 3. График функции p1

Рис. 4. График функции p2

Вычисляем фазовые и сопряженные переменные, строим функцию переключения G.

Рис. 5. График функции переключения

Видим, что произошло переключение управления. Вычислим момент, в котором функция переключения равна нулю.

Обозначим: T1= момент переключения управления с 0 на .

Вычислим фазовые и сопряженные переменные в момент T1:

Подставляем полученные значения в систему, с.

Построим решение новой системы:

Рис. 6. График функции s

Рис. 7. График функции i

Рис. 8. График функции p1

Рис. 9. График функции p2

Снова строим функцию переключения:

Рис. 10. График функции переключения

Видим что больше переключений нет, таким образом мы поулчили решение на всем отрезке:

Рис. 11. График функции s

Рис. 12. График функции i

Найдем целевой функционал:

Целевой функционал равен.

Пример 2. Рассмотрим задачу с другими начальными условиями.

Построим решения данной системы:

Рис. 13. График функции s

Рис. 14. График функции i

Рис. 15. График функции p1

Рис. 16. График функции p2

Найдем ближайший слева к T момент переключения, в котором G (t)=0.

Рис. 17. График функции переключения

Ищем точку пересечения:

Дальше вычисляем значения фазовых и сопряженных переменных в точке переключения:

Решаем систему дифференциальных уравнений с управлением и вычисленными значениями фазовых и с поряженных переменных:

Строим решения новой системы:

Рис. 18. График функции s

Рис. 19. График функции i

Рис. 20. График функции p1

Рис. 21. График функции p2

Найдем ближайший слева к T1 момент переключения, в котором G (t)=0.

Рис. 22. График функции переключения

Видим, что произошло переключение управления с 0 на.

Находим точку, в котором G (t)=0 :

Находим значение фазовых и сопряженных переменных в точке переключения управления:

Далее решаем еще одну систему с переключением с на 0.

Строим решения:

Рис. 23. График функции s

Рис. 24. График функции i

Строим функцию переключения и проверяем, будут ли еще переключения:

Рис. 25. График функции переключения

Видим что переключений управления не происходит, следовательно найдено решение на всем отрезке.

Рис. 26. График функции i

Рис. 27. График функции s

Вычислим целевой функционал:

I (t) + м (t)) dt при =1.

+*0.5

Целевой функционал равен.

В таблице, приведены данные об оптимальном значении функционала и моментах переключения управления задачи при изменении параметров задачи.

Таблица 1. Зависимость показателей от параметров задачи.