Упражнения к главе ii

1. Будет ли дифференцируемой функция г?

От в. Нет.

2. Установить выполняемость условий Коши-Римана для функций:

f (z) = z, .г², zⁿ_t e^z, sin z, cos z.

• 3. Если функция f{z) в каждой точке области удовлетворяет условию: /'(z) = 0, то доказать, что /(г) есть постоянное в этой области.
• 4. Написать условия Коши-Римана в полярных координатах.

_п ди_ 1 dv dv____1 ди

Urns. 5F- 7^*.

• 5. Показать, что функция о> = In/? + ?/(— я <? < it), J где z = г (cos? -4- + /sin?) есть аналитическая всюду, кроме нулевой точки.
• — 00
• 6. Определить радиус сходимости ряда 2 ^an^z°> ^{если а}п — —_п«^ап = ^л1пл«

п =.1 п

= ^а" = ^лЛ*.

Oms. /? = со, 1, 0.

СО 00.

7. S ^ап^гП имеет радиус сходимости г и 2 ^а_п^2П Р^алиУ^с сходимо;

п— 0 п ==0.

сти г'. Какой радиус сходимости R имеют ряды:

(В последнем случае все а_п ф 0.).

Огпв. В первых двух случаях R не меньше наименьшего из чисел г и г. е. R 52!^. В третьем случае R ^ гг* и в четвёртом ^ —у.

• 00
• 8. 2 ^an^zn имеет радиус сходимости г и в некоторой точке z₀ окружно- п = О

сти круга сходимости абсолютно сходится. Показать, что этот ряд сходится абсолютно и равномерно для всехг, |<�г|^г.

9. Коэффициенты а₀, аи о₂,. • степенного ряда V a, zⁿ — дейсгвитель;

п

ные положительные числа, монотонно стремящиеся к нулю. Доказать, что: а) его радиус сходимости г не меньше единицы, 6) если г = 1, то он сходится во всех граничных точках его круга сходимости, кроме, быть может, z = 1.

10. Будет ли функция /(z) = y~Z~_z ^внУ^гР^и единичного круга непрерывна?

Будет ли она равномерно непрерывна?

Отв. Непрерывна, но не равномерно непрерывна.

11. Функция /(z) определена при | z | < I и не только непрерывна, но и равномерно непрерывна. Доказать, что если z_n-+z₀, где |z"|₀ — граничная точка, то существует lim/(z_n) и имеет значение, зависящее.

п -* 00.

только от z₀.

• 12. Доказать, что при условии задачи 11 однозначно определенные граничные значения /(z₀j образуют непрерывную функциях вдоль окружности lz | =1.
• 1 7
• 13. Для 0 < 1 z | < 1 доказать, что: — | z | < | г* — 11 < у | г |. *
• 14. Для любого z показать, что | e^z — 1 | ^ е I * I — 1 ^ | z | е i * I.
• 15. Пусть z движется по лучу, ?выходящему из начала координат, и по модулю неограниченно возрастает. Для каких направлений этого луча существует lim е*, для каких нет?

Отв. При — у < arg * < lim | е* | = + со; npHy.

когда arg z = it у, предела нет.

' N.

16. Чему равны значения e'+i, cos (5 — /), sin (1—5/)?

Отв. е²+* = е* (cos 1 -f- / sin 1) = 3,992 -j- / 6,218,.

17. Какая зависимость существует между a) arccos z и In z; б) arctg z.

и In z? _.

Отв. a) arccosz = — /In (zj/z^a — 1);

. / .1 — iz

6) arctg ^z — ~2 '" .f+Ti;

18. Дано w = u—iv— (z — с). Полагая z = x—yi, c = a-{-bi, найти и и v. Проверить условия Коши-Римана в любой точке.

Отв. u = In V Кх — ay -J- (у — b)*_t v = arctg у~~_a •.

19. Переменное z -=x—yl описывает отрезок дг=1, —ls^y^-f-l. Чему равна длина линии, получающейся при отображении этого отрезка ь плоскости w = г⁵?

Отв. 2 V 2 + In (3 -f 2 / 2)•.

20. Какую линию описывае1 w = z², когда z изменяется в пределах R (z) = 1, — l^/(z)^ + l?

Отв. Дугу параболы у² = 4(1—х), заключённую между точками (0, — 7)

и (0, 2).

21. Если элемент площади плоскости z есть dсо, то как выразится элемент площади отображённой плоскости w=f (z)?

Отв. |/'(z) | -*</<0, где z—точка элемента du>.

22. Если z описывает область G, то чему равна площадь области D, получающейся при отображении G с помощью аналитической функции да = /(*)?

Отв. ^ ^ | /' (z) |* dx dy, где интеграл распространён на область G.

• 23. Если w—z* и z описывает область, определяемую условиями:
• 1^|г|=^2, — ^ arg z ^ ??*" ^то чему равна площадь области, описываемой при этом точкой w?

Отв. 7,5л.