Комплексная плоскость. 
Комплексный анализ

Вспоминаем комплексные числа

Студенты очных и заочных отделений, обучающиеся в педвузе на факультете с математической направленностью, легально знакомятся с комплексными числами в самом начале учебы. Поэтому на завершающем ее этапе при изучении ТФКП мы не будем приводить подробное изложение теории комплексных чисел, а только ограничимся описанием основных понятий и формул теории с демонстрацией их на конкретных немногочисленных примерах.

Напомним, что комплексное число (в дальнейшем сокращенно к.ч.) — это число вида z=x + yi, где х, уе Я, a i = y[-1 — мнимая единица. Предполагается, что читатель помнит, что такое действительная и мнимая части к.ч., какие к.ч. взаимно сопряженные, когда два комплексных числа равны, как выполняются алгебраические операции и т. д. Например, последние определяются естественным образом из правил сложения и умножения многочленов с учетом условия /² = -1.

Пример. Выполнить указанные действия:

Решение. В случае а) искомая сумма равна (3 + 5) + (-2 + 3)/ = 8 + /. В случае б) умножим числитель и знаменатель дроби на 1 — / - сопряженное к знаменателю, раскроем скобки:

Обозначим через R² = Rx R плоскость с декартовыми координатами и евклидовой метрикой. Между ней и множеством С комплексных чисел установим соответствие по следующему предложенному Гауссом правилу: точке (x, y) eR² поставим в соответствие к.ч. z = x + yieC и обратно. Такое соответствие, очевидно, является взаимно однозначным, поэтому точку (х₉у) можно принять за изображение к.ч. z = x + yi₉ и обратно. В такой интерпретации R~ естественно назвать комплексной плоскостью, а к.ч. z — точкой этой плоскости. К.ч. z называют аффиксом (или комплексной координатой) точки (х₉у) е R~. В литературе в одинаковом смысле используются термины:

число z, точка с аффиксом z, точка z. Плоскость R² называют плоскостью С, нс различая поле С комплексных чисел и плоскость С точек z.

Для определения положения точки z = x + yi часто используются полярные координаты )(р, где г = yjx² + у², а (р — угол, который радиус-вектор точки составляет с положительной полуосью действительной оси (рис. 1а)).

Рис. 1.

Направление против хода часовой стрелки считается положительным, а по ходу часовой стрелки — отрицательным. Воспользовавшись известной из анализа зависимостью между декартовыми и полярными координатами

для к.ч. z = x + yi получим запись z = /'(cos.

z. При этом г =| z | - это модуль, а (р — аргумент z. Понятие аргумента не распространяется на точку z = 0. Заметим что аргумент к.ч. z * 0 определяется с точностью до слагаемого 2л/v (к gZ) по значениям.

Множество всех решений этих уравнений обозначается символом Argz, который обычно используется и для обозначений любого элемента указанного множества. Единственное (ре. Argz, принадлежащее промежутку {-л, к], — это главное значение аргумента, обозначаемое argz. Например,.

Равенство Argz = Argw понимается как утверждение, что множества Argz и Arg w состоят из одних и тех же элементов, т. е. совпадают.

Под символом Эйлера е" (teR) понимается к.ч. cost + /sin/. Его происхождение будет выяснено позднее. С его помощью любое к.ч. z ф 0 можно записать в показательной форме.

Использование символа Эйлера во многих случаях значительно упрощает выкладки. Символ обладает следующими свойствами показательной функции:

Проверим, например, второе свойство. Имеем.

e^{, s} • е" = (cos s + isin s)(cos / + /sin /).

Раскрыв скобки, получим выражение.

Но в полученных скобках имеем соответственно cos (y + /), sin (.y + /), т. е. выражение в правой части равенства 2.

Для доказательства последнего, четвертого свойства, следует применить формулу Муавра с неотрицательной целой степенью.

Приведем пример, в котором существенно (с целью компактности выкладок) применяется символ Эйлера.

Пример. Вычислить

Решение. Изобразим (рис. 16)) на комплексной плоскости числа.

найдем их модули и главные значения аргументов. Эти числа являются аффиксами точек соответственно /4,(1,1), Л₂( 1,-л/З). Из рисунка видно, что.

(однако читателю следует в этом убедиться без чертежа, находя эти величины чисто аналитически). Имеем теперь.

В заключение этого раздела предлагаем следующие задачи для самостоятельного решения.

1.1.1. Выполнить указанные действия:

Ответ: а) — /; б) — 8.

1.1.2. Найти модули и главные значения аргументов чисел 2−5/,-2−5/.

Ответ: соответственно

1.1.3. Доказать, что.

1.1.4. Доказать, что.

1.1.5. Используя показательную форму к.ч., докажите формулу Муавра для.