Характеристические функции множеств. 
Свойства операций над множествами

Определение 4.1.

Функция называется характеристической функцией множества .

Свойства характеристических функций.

• 1. (равенство множеств означает равенство их характеристических функций и наоборот),
• 2. (характеристическая функция произведения множеств равна произведению характеристических функций сомножителей),
• 3. (характеристическая функция суммы множеств равна разности суммы характеристических функций слагаемых и их произведения),

• 4. (характеристическая функция дополнения множества равна разности единицы и значения его характеристической функции),
• 5. (характеристическая функция разности множеств равна произведению характеристической функции уменьшаемого на характеристическую функцию дополнения к вычитаемому),
• 6. (характеристическая функция универсального множества тождественно равна единице),
• 7. _Ш (характеристическая функция пустого множества тождественно равна нулю).

Свойства характеристических функций, очевидно, следуют непосредственно из определения 4.1. Читателю предлагается проверить это самостоятельно.

Свойства операций над множествами Теорема 4.1.

Пусть — универсальное множество,, тогда справедливы следующие свойства операций над множествами:

1) коммутативность.

.

2) ассоциативность.

.

3) дистрибутивность.

пересечения относительно объединения.

.

объединения относительно пересечения.

.

• 4) Ш, Ш ,
• 5), ,
• 6) Ш, Ш =Ш,
• 7), Ш,
• 8) идемпотентность

,.

9)законы Де’Моргана.

.

.

Доказательство:

Все свойства операций над множествами можно доказать на языке характеристических функций множеств. Для примера докажем закон Де’Моргана .

По свойству 1. характеристических функций имеем, следовательно для доказательства равенства множеств и достаточно доказать равенство их характеристических функций и. При доказательстве будут использованы остальные свойства характеристических функций:

Доказано.