Определенный интеграл и его свойства

Понятие определенного интеграла

Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Пусть определена на отрезке. Разобьём на части несколькими произвольными точками: .

Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка. Далее выберем произвольную точку, .

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю, если он существует независимо от разбиения R и выбора точек, то есть.

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.

Свойства определенного интеграла

1. Пусть действительная функция f (x) определена и ограничена на отрезке [a, b]. Разобьем данный отрезок на n частичных интервалов. В каждом интервале выберем произвольную точку оi и составим интегральную сумму ?i=1nf (оi)Дxi, где Дxi? длина i-го интервала. Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a, b] называется предел интегральной суммы (суммы Римана) при стремлении максимальной длины частичного интервала к нулю.

2. Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

4. Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:

5. Определенный интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:

6. Если верхний предел равен нижнему, то определенный интеграл равен нулю:

7. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на противоположный:

8. Пусть точка c принадлежит отрезку [a, b]. Тогда определенный интеграл от функции f (x) на отрезке [a, b] равен сумме интегралов на частичных промежутках [a, c] и [c, b]:

9. Определенный интеграл от неотрицательной функции всегда больше или равен нулю:

• 10. Определенный интеграл от неположительной функции всегда меньше или равен нулю:
• 11. Формула Ньютона-Лейбница

.

• 12. Метод подстановки для определенного интеграла
• 13. Если x=g (t), то, где c=g1(a), d=g1(b).
• 14. Интегрирование по частям
• 15. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций
• 16. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона (метод парабол)

где .

• 17. Площадь криволинейной трапеции
• 18. Площадь между двумя кривыми

.