Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. 
Теорема разложения

Закон Ома в операторной форме. На рис. 7.7 изображена неразветвленная цепь, содержащая ЭДС е и пассивные элементы г, L, С. При замыкании ключа К по цепи пойдет переходный ток i. Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, запишется так:

Рис. 7.7.

Руководствуясь табл. 7.1, заменим переменные (оригиналы) уравнения (7−30) их изображениями при ненулевых начальных условиях, т. е. когда г (0_) Ф 0 и мДОД Ф 0: е —" Е (р), i —" I (p), u_L — Ldi / dt-^> Lpl (p) — Li (0), u_c —

= K<0) +1/idt] -> u_c(0)/p + l (p) / Cp.

^L о Подставив в уравнение (7−30) вместо оригиналов их изображения, на что имеем право вследствие линейности рассматриваемой цени, получим.

откуда.

В (7−31) 1/(0) и и_с(0) / р называются внутренними ЭДС, обусловленными запасом энергии в магнитном поле индуктивности L и в электрическом поле емкости С соответственно, поэтому обозначим.

Кроме того, структура знаменателя (7−31) аналогична структуре комплекса сопротивления цепи, если р заменить наусо. Поэтому он называется операторным сопротивлением цепи

С учетом (7−32) и (7−33) выражение (7−31) примет вид.

что означает: «изображение тока в анализируемой схеме равно отношению суммы изображений ЭДС к сумме изображений сопротивлений». Поэтому оно является аналогом закона Ома, вследствие чего его называют законом Ома в операторной форме для рассматриваемой цепи.

При нулевых начальных условиях, т. е. если /(0) = 0 и и_с(0_) = 0, Е_т1(р) = = 1/(0) — и_с(0) = 0 + 0 = 0, выражение (7−34) примет вид.

Правила Кирхгофа в операторной форме. Уравнение токов по первому правилу Кирхгофа для узла а или в цепи по рис. 7.8 (начальные условия не нулевые), как известно, запишется так: / - ц — /₂ = 0. Заменив оригиналы токов их изображениями, получим первое правило Кирхгофа в операторной форме для цепи по рис. 7.8:

Рис. 7.8.

Запишем уравнение напряжений по второму правилу Кирхгофа для цепи по рис. 7.8, обходя контур по ходу часовой стрелки. Это уравнение с учетом того, что начальные условия не нулевые, запишется так:

В общем виде первое правило Кирхгофа в операторной форме запишется так:

Заменим оригиналы слагаемых уравнения (7−37) их операторными изображениями.

Тогда уравнение (7−37) в изображениях примет вид.

Для записи выражения (7−37а) в более лаконичной форме введем следующие обозначения: Z_c(p) = 1 / Ср, Z_x(p) = pL_v Z₂(p) = pL₂, Z (j?) = R, E_Bll(p) = = w_c>(0) /p — L_{i_x(0) + L₂i₂(0) и с их учетом перепишем его:

Уравнение (7−38) является вторым правилом Кирхгофа в операторной форме для цепи, но рис. 7.7.

В общем виде второе правило Кирхгофа в операторной форме выглядит так:

где п — число ЭДС в цепи; т — число ветвей в цепи.

Теорема разложения. В двух предыдущих примерах найдены изображения искомых величин, но не найдены искомые оригиналы. Одним из способов нахождения оригиналов по их изображениям является, как указывалось выше, использование теоремы разложения. Поэтому рассмотрим ее.

При определенных условиях теорема разложения записывается в виде формулы где k — число корней p_k, т. е. число слагаемых при нахождении оригинала равно числу корней p_k.

Формула (7−40) справедлива, если: а) многочлены F_{(p_k) и F₂(p_k) не имеют общих или кратных корней; б) их коэффициенты являются вещественными числами.

Искомые оригиналы по (7−40) находят в такой последовательности:

• 1) приравняв знаменатель находят корни р_}{
• 2) определяют первую производную знаменателя Р^РкУ
• 3) подставляют значения корней p_k в F_{(p_k) и F^iPk) и находят оригинал /(?) изображения f (p).