ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ°: Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
12z4-16z3-11z2-16z+12=0.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½, Ρ. Π΅. ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ 4. ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ:
12z4-16z3-11z2-16z +12 = z2(12z2-16z-11−16*1/z+12*1/z2) =
= z2[12(z2+1/z2)-16(z+1/z)-11] = z2[12(Ρ2-2)-16Ρ-11]=z2(12Ρ2-16Ρ — 35).
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ z=0 Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Ρ:
12Ρ2−16Ρ-35=0.
Π Π΅ΡΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ.
Π=b2-4ac=162-4*12*(-35)=256+1680=1936.
Ρ1= (-b+vΠ)/2a = (16+44)/2*12=60/24=5/2.
Ρ2 = (-b — vΠ)/2a= (16- 44)/2*12= -28/24= -7/6.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
z+ 1/z= -7/6, z+1/z= 5/2.
Π Π΅ΡΠ°Ρ ΠΈΡ
, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ:
z1, 2= (- 7±iv95)/12, z3=2, z4=Π
ΠΡΠ²Π΅Ρ: (- 7+iv95)/12; (- 7 — iv95)/12; 2; Π
.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 2: Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
4z11+4z10-21z9-21z8+17z7+17z6+17z5+17z4-21z3-21z2+4z+4=0.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 11.
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ Π½Π° z+1:
4z11+4z10-21z9-21z8+17z7+17z6+17z5+17z4-21z3-21z2+4z+4=
= (z+1) (4z10-21z8+17z6+17z4-21z2+4).
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (Ρ.Π΅. ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ):
ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ z1= -1. ΠΡΠΎΡΠΎΠ΅ — ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ:
4z10-21z8+17z6+17z4-21z2+4=z5(4z5-21z3+17z+17*1/z — 21*1/z3+4*1/z5)=
= z5[4(z5+1/z5)-21(z3+1/z3)+17(z+1/z)]=z5[4(Ρ5-5Ρ3+5Ρ)-21(Ρ3-3Ρ)+17Ρ]=
=z5(4Ρ5 — 41Ρ3+100Ρ).
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ z=0 Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ:
4Ρ5 — 41Ρ3+100Ρ = 0.
ΠΡΠ½Π΅ΡΠ΅ΠΌ Ρ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ:
Ρ (4Ρ4 — 41Ρ2+100) = 0.
Ρ =0 ΠΈΠ»ΠΈ.
4Ρ4 — 41Ρ2+ 100 = 0.
Π Π΅ΡΠΈΠΌ Π±ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡ.
Ρ2 = t, Ρ= ± vt,
4t2 — 41t + 100 = 0.
Π=b2-4ac= (-41)2— 4 * 4 * 100 = 1681 — 1600 = 81
t1, 2 = (-b ± vΠ)/2a= (41±v81)/2*4 = (41±9)/8;
t1 = 50/8 = 25/4,
t2 = 32/8 = 4.
Ρ1, 2 = ± v25/4 = ± 5/2, Ρ3, 4 = ± v4 = ± 2.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ:
Ρ=0, Ρ= 5/2, Ρ= -5/2, Ρ=2, Ρ= -2;
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΏΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:
z+1/z=0, z+1/z= -5/2, z+1/z= 5/2, z+1/z= 2, z+1/z= - 2.
Π Π΅ΡΠ°Ρ ΠΈΡ
ΠΈ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ z1 = - 1, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π½Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ:
z1= -1, z2=i, z3= -i, z4= -2, z5= -Π
, z6=2, z7=Π
, z8=z9= -1, z10=z11=1.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: — i, -2, -1, -Π
, Π
, 1, 2, i.