Задание 4. Расчет колонны на устойчивость

Дано: схема нагружения колонны высотой 13 метров (рис.20), изготовленной из стали Ст. 3 и имеющей составное сечение из двух швеллеров № 16 (рис. 21). Определить допускаемую нагрузку при заданном коэффициенте запаса устойчивости = 2,5.

Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных сжимающих сил.

Нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости, называются критическими. Если нагрузки не превышают этого значения, то стержень остается прямолинейным, испытывая только деформации сжатия. Искривленный стержень испытывает сочетание деформаций центрального сжатия и изгиба, которые могут угрожать прочности конструкции. Поэтому критическое состояние считается недопустимым.

Опасность потери устойчивости особенно актуальна в настоящее время в связи с широким использованием тонкостенных элементов конструкций типа стержней, балок, пластин и оболочек, изготовленных из высокопрочных материалов. Расчет на устойчивость необходим, например, при проектировании ферм различного назначения, всевозможных вышек, башен и мачт, несущих конструкций зданий и сооружений.

Рис. 20. Расчетная схемы нагружения колонны Рис. 21. Форма составного сечения

1. Основные геометрические характеристики составных частей сечения.

Геометрические характеристики составных частей сечения определяются по таблице сортамента прокатной стали ГОСТ 8240 (швеллеры):

h = 16 см;

b = 6,4 см;

Ix = 747см4;

Iy = 63,3 см4;

F = 18,0 см².

x0 = 1,79 см;

2. Определение положения центра тяжести составного сечения.

Определим положение центра тяжести всего сечения относительно произвольной системы координат xОy (рис. 22).

Так как сечение имеет ось симметрии, то его центр тяжести расположен на этой оси, т. е. yC = 0. Координату xC определим по формуле.

.

где и — площадь и координата центра тяжести каждой составной части сечения.

см.

Через полученную точку проведем главные центральные оси инерции сечения X и Y.

Рис. 22. Расчетная схема сечения

3. Определение минимального осевого момента инерции сечения.

Для нахождения моментов инерции составного сечения воспользуемся теоремой о моментах инерции относительно параллельных осей, согласно которой.

где — моменты инерции составных частей сечения относительно собственных центральных осей, параллельных главным центральным осям инерции всего сечения; - расстояния между соответствующими осями отдельных составных частей и осями всего сечения в целом.

В рассматриваемом примере а1=а1=0;

см; (левая часть колонны).

см. (правая часть колонны) Тогда см4;

см4.

Из двух осевых моментов инерции выбираем минимальный, так как именно вокруг этой оси будет поворачиваться сечение при продольном изгибе: Imin = IY = 891,7 см4.

4. Определение минимального радиуса инерции сечения.

imin см.

5. Определение гибкости колонны.

Гибкость колонны (?) определяется только ее конструкцией и зависит от высоты (l), формы и размеров поперечного сечения (imin), а также от условий закрепления и отношения продольных размеров колонны (?):

где? — коэффициент приведения длины. Для схемы колонны, приведенной на рис. 20,? = 1,35. Тогда:

б).

6. Определение критических напряжений.

Так как гибкость колонны больше критической (), поэтому критическое напряжение вычисляем по формуле Эйлера, приняв модуль продольной упругости материала :

=15,9 МПа.

7. Определение критической силы.

Критическая сила определяется, исходя из деформации сжатия:

Ркр = ?крF.

где F — площадь поперечного сечения колонны.

Ркр = Н = 57,24 кН.

8. Определение допускаемой нагрузки.

Любая конструкция не должна работать при нагрузках, близких к критическим. Поэтому допускаемая ее величина должна быть меньше критической в несколько раз, что определяется коэффициентом запаса устойчивости :

Ркр/ =57,24 /2,5 = 22,9 кН;

При проектировании следует иметь в виду, что наиболее экономичными с точки зрения расхода материала являются колонны, стержни и мачты с кольцевым или коробчатым поперечным сечением.