Множественная линейная регрессия

На любой экономический показатель чаще всего оказывает влияние не один, а несколько факторов. Например, производительность труда зависит от качества оборудования, уровня автоматизации технологических процессов, профессиональной подготовки рабочих и т. д. Поэтому обобщим полученные ранее результаты на многомерный случай.

Рассмотрим самую употребительную и наиболее простую из моделей множественной регрессии — модель множественной линейной регрессии.

Пусть результативный признак Y зависит от т факторных признаков X_v Х₂,…, Х_т. Тогда теоретическое уравнение множественной линейной регрессии имеет вид.

Пусть проведено п наблюдений, тогда результат /-го наблюдения можно записать в виде

где Xjj — значение факторного признака Xpj = 1, 2, т, в г-м наблюдении; у, — соответствующее им значение результативного признака F; е, — случайная ошибка измерения. Параметры Р₀, Р, Р_т являются количественным выражением влияния каждой из объясняющих переменных на результативный признак Y. Эти параметры называются частными коэффициентами регрессии и интерпретируются как среднее изменение значения результирующей переменной при изменении на единицу значения данной объясняющей переменной при условии постоянства всех остальных объясняющих переменных.

При анализе формулу (11.11) обычно записывают в матричной форме: где

Применяя для оценки вектора неизвестных параметров (3 МНК, нетрудно получить общую формулу вычисления оценок коэффициентов множественной линейной регрессии:

где Х^Т — матрица, транспонированная к матрице X, а (Х^ТХ)~¹ — матрица, обратная к матрице Х^ТХ.

Замечание 11.13. Проверка значимости (качества предсказания) уравнения множественной линейной регрессии в принципе мало отличается от соответствующей проверки парной зависимости и проводится с помощью F-критерия Фишера.

Замечание 11.14. Уже при п > 20 и m > 3 расчеты коэффициентов множественной линейной регрессии вручную весьма затруднительны. Поэтому можно воспользоваться, например, средствами MS Excel.

Пример 11.9. Изучается зависимость себестоимости продукции У (тыс. руб.) от объема валовой продукции Х_{ (млн руб.) и производительности Х₂ (тыс. руб. на человека). Данные 11 предприятий отрасли представлены в таблице:

Построим уравнение регрессии.

Решение. Будем строить линейную регрессионную модель.

Для нахождения оценок коэффициентов регрессии воспользуемся средствами MS Excel. Вызываем надстройку «Анализ данных». В открывшемся меню надстройки «Анализ данных» выбираем пункт «регрессия». В открывшемся диалоговом окне «Регрессия» вводим исходные данные и указываем таблицы, которые процедура регрессия должна вывести. В итоге получаем таблицы, представленные на рис. 11.2.

Рис. 11.2. Регрессионная модель в MS Excel.

Таблица «Регрессионная статистика». В этой таблице основную информацию для нас содержит строка R-квадрат, так как показывает коэффициент детерминации (R² = 0,925).

Таблица «Дисперсионный анализ». Эта таблица предназначена для проверки значимости коэффициента детерминации, т.с. для проверки гипотезы Я₀: R² = 0. Самым главным для нас в этой таблице является столбец «Значимость F», который выводит /7-значснис для вычисленного значения Т_набл = 49,43. В нашем случае p-значение равно 0,3, поэтому при уровне значимости, а = 0,05 гипотезу о том, что R²= 0, отвергаем, так как р < а, и признаем выбранную линейную регрессионную модель работоспособной с R² = 0,925.

Таблица «Коэффициенты модели и их анализ». В этой таблице первая строка, называемая «У-пересечение», выводит информацию для оценки коэффициента р₀, а именно р₀ =2097,2. В столбце t-статистика выведено значение ?_набл = 9,1 для проверки гипотезы //₀: р₀ = 0; /7-значение равно 0,2, поэтому при уровне значимости, а = 0,05 гипотезу о равенстве нулю коэффициента следует отклонить, так как р < а; 95%-ный доверительный интервал для р₀ равен (1562,9; 2631,4).

Аналогичные выводы можно сделать по второй и третьей строке. В частности, р! =163,7, р₂ =33,6.

Таким образом, выборочное уравнение множественной линейной регрессии имеет вид