Методика изучения равенства векторов

1. В учебнике Л. С. Атанасяна и др. используется следующее определение равенства векторов:

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Рис. 77.

Целесообразность этого определения мотивируется рассмотрением примера на движение тела, при котором все его точки движутся с одинаковой скоростью (рис. 77).

2. В учебнике А. В. Погорслова равенство векторов определяется через параллельный перенос: Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом.

Из определения следует, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Обратно, если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны. Это утверждение дает новый способ распознавания равных векторов.

Введению понятия равных векторов должно предшествовать рассмотрение понятий сонаправленных и противоположно направленных векторов, длины вектора. Для иллюстрации сонаправленных (противоположно направленных) векторов следует использовать наглядный материал (модели, схемы и т. д.). Усвоению этих понятий будет способствовать использование упражнений.

• 1. Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
• 2. Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
• 3. Верны ли утверждения: если векторы АВ и CD сонаправлены, то: а) ~АВ= CD; б) АВCD и АВ *CD?

Усвоение понятия равных векторов предполагает овладение действием распознавания равных векторов и действием выведения следствий из факта равенства векторов. Овладению этих действий будет способствовать выполнение специальных упражнений.

1. Выделить на рисунке 78 равные векторы.

2. Начертить параллелограмм, обозначить его вершины и написать все равные между собой векторы, началом и концом которых являются вершины параллелограмма.

Рис. 78.

3. Векторы а и Ъ равны, что следует из этого?

4. Известно, что а || Ъ. Следует ли отсюда, что а = ё? Если нет, то изменить условие так, чтобы из него следовало равенство векторов а и b .

В рамках учебника А. В. Погорелова распознавание равных векторов может осуществляться как с помощью определения, так и с помощью следующего признака.

Теорема (признак) Два вектора равны тогда и только тогда, когда они одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Одно из центральных мест в изложении векторов в учебнике А. В. Погорелова занимает понятие координат вектора. Остановимся на методике его формирования.

Координаты вектора автор определяет следующим образом:

Координатами вектора с началом, А (ху) и концом В (ху, у г) называются числа а= xi — jci и а₂ — угу.

Вначале можно предложить учащимся выполнить следующее упражнение: на каждом из рисунков (рис. 79 a-в) изображены равные векторы. Определите координаты начала и конца каждого вектора; найдите разность координат конца и начала вектора.

Рис. 79.

Выполнив упражнение, учащиеся замечают, что разность абсцисс конца и начала вектора для всех равных ему векторов постоянна. Аналогично, и разность ординат конца и начала вектора. Числа, равные разностям соответствующих координат конца и начала вектора, называют координатами вектора.

Итак, координаты вектора а = А В, где А (х^у_{) и В (х₂;у₂), есть а = Х2~Х и «2⁼ Уг ~У- Координаты вектора записывают рядом с буквенным его обозначением: а (а_};а₂). Координаты вектора, началом которого является начало координат, есть координаты его конца. Этот факт позволяет легко строить вектор по его координатам.

Приведенные упражнения позволяют учащимся самим формулировать теоремы, выражающие свойство и признак равных векторов. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно, если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны. Эти упражнения моделируют и способы доказательства теорем. При выполнении упражнений следует подчеркнуть, что вектор b, равный вектору а, получается из вектора а параллельным переносом. Доказательство обратной теоремы основывается на формулах параллельного переноса.

В учебнике Л. С. Атанасяна и др. координаты вектора вводятся как коэффициенты разложения этого вектора по координатным векторам и используются для обоснования свойств скалярного произведения векторов.